Question

如圖，△ABC中，AC=BC，以BC上一點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作⊙O交AB于點(diǎn)D．已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的⊙O切線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（1）試判斷CD與AC的位置關(guān)系，并證明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=3，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)OD，如圖，由OD=OB得∠ODB=∠B，由AC=CB得∠A=∠B，則∠A=∠ODB，于是可判斷OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ACD=∠ODC，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ODC=90°，則∠DCA=90°，所以CD⊥AC；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由△ACB∽△CDB得到∠BCD=∠A，理由三角形外角性質(zhì)易得∠ADC=2∠B，則∠ADC=2∠A，再利用三角形內(nèi)角和定理得∠A+∠ADC=90°，可計(jì)算出∠A=30°，則∠CDB=∠B=30°，∠COD=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△ACD中可計(jì)算出CD=

3

3

AC=

3

，再在Rt△ODC中計(jì)算出OD=

3

3

CD=1，然后利用三角形的面積減去扇形的面積可得到圖中陰影部分的面積．

解答：解：（1）CD⊥AC．理由如下：
連結(jié)OD，如圖，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵AC=CB，
∴∠A=∠B，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ACD=∠ODC，
∵CD是⊙O切線，
∴∠ODC=90°，
∴∠DCA=90°，
∴CD⊥AC；
（2）∵△ACB∽△CDB，
∴∠BCD=∠A，
∴∠ADC=2∠B，
而∠A=∠B，
∴∠ADC=2∠A，
∵∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠CDB=∠B=30°，
∴∠COD=60°，
在Rt△ACD中，CD=

3

3

AC=

3

，
在Rt△ODC中，OD=

3

3

CD=1，
∴圖中陰影部分的面積=

1

2

×1×

3

-

60•π•12

360

=

3

2

-

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了扇形的面積計(jì)算和相似三角形的性質(zhì)．