Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于A，B兩點，A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點C坐標為（0．﹣6），連接BC，點C關(guān)于x軸的對稱點D，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）點P在x軸上運動，若﹣6≤m≤2時，求線段MQ長度的最大值．

（3）點P在x軸上運動時，N為平面內(nèi)一點，使得點B、C、M、N為頂點的四邊形為菱形？如果存在，請直接寫出點N坐標；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣6；（2）MQ的最大值為16；（3）N坐標為（﹣，﹣）或（﹣2，0）或（7.2﹣3.6）或（2，﹣12）．理由見解析.

【解析】

（1）把A點坐標為（-3，0）、點C坐標為（0，-6）代入二次函數(shù)表達式，解得：a=1，c=-6，故：二次函數(shù)解析式為y=x2+x-6；

（2）點C關(guān)于x軸的對稱點D（0，6），MQ=yM-yQ=-3m+6-（m2+m-6）=-（m+2）2+16，即可求解；

（3）①當BC邊為菱形的邊時，N點應該在x軸，關(guān)于B點對稱，即點N坐標為（-2，0）；②當BC邊為菱形的對角線時，作BC的垂直平分線MH，直線BD與直線MH交點即為M坐標為，即可求解．

（1）把A點坐標為（﹣3，0）、點C坐標為（0，﹣6）代入二次函數(shù)表達式，

解得：a＝1，c＝﹣6，

故：二次函數(shù)解析式為y＝x2+x﹣6；

（2）點C關(guān)于x軸的對稱點D（0，6），

點B、D坐標所在的直線方程為：y＝﹣3x+6，

則：點M坐標為（m，﹣3m+6），點Q為（m，m2+m﹣6），

∴MQ＝yM﹣yQ＝﹣3m+6﹣（m2+m﹣6）＝﹣（m+2）2+16，

在﹣6≤m≤2時，函數(shù)頂點處，取得最大值，

即MQ的最大值為16；

（3）①當BC邊為菱形的邊時，

情況一：N點應該在x軸，關(guān)于B點對稱，即點N坐標為（﹣2，0），

情況二：BC、MB是菱形兩條鄰邊，且BC＝BM，則點N坐標為（2，﹣12），

情況三：BC、CM為鄰邊時，則點N坐標為（7.2﹣3.6）；

②當BC邊為菱形的對角線時，作BC的垂直平分線MH，

則直線DB與MH的交點為M，M關(guān)于BC的對稱點為N，H為BC的中點，

∴H坐標為（1，﹣3），

直線BD的方程為：y＝﹣3x+6，直線MH的方程為：y=-x-，

聯(lián)立以上兩個方程，解得：M坐標為（，﹣），

同理得N坐標為（﹣，﹣），

故：N坐標為（﹣，﹣）或（﹣2，0）或（7.2﹣3.6）或（2，﹣12）．