Question

如圖，AB是半圓O的直徑，且AB＝，矩形CDEF內(nèi)接于半圓，點(diǎn)C，D在AB上，點(diǎn)E，F在半圓上．

（1）當(dāng)矩形CDEF相鄰兩邊FC︰CD＝︰2時(shí)，求弧AF的度數(shù)；

（2）當(dāng)四邊形CDEF是正方形時(shí)：

①試求正方形CDEF的邊長；

②若點(diǎn)G，M在⊙O上， GH⊥AB于H，MN⊥AB于N，且△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，求HN的長．

Answer 1

解：（1）連結(jié)FO，根據(jù)圓的對稱性，矩形CDEF內(nèi)接于半圓可得CO＝OD，

∴Rt△COF中，FC︰CD＝︰1，∴∠FOC=60°

∴弧AF的度數(shù)為60°

（2）① ∵四邊形CDEF是正方形，∴FC=2CO -- 分

∵FC²＋CO²=，解得CO＝2，∴CF＝4，正方形的邊長為4  

② 連結(jié)OG，OM，∵△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，∴DH＝HG，HN＝MN

在Rt△OGH中，，設(shè)DH＝x，則

解得x＝2 或x＝－4（舍去）

在Rt△OMN中，，設(shè)HN＝y，

∴，解得（舍去負(fù)值）

∴