Question

如圖1，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將直線OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足

△POD∽△NOB的點(diǎn)P坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)）．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）

∴將A與B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，解得：，

∴拋物線的解析式是y=x²﹣3x．                              

（2）設(shè)直線OB的解析式為y=k₁x，由點(diǎn)B（4，4），

得：4=4k₁，解得：k₁=1     ∴直線OB的解析式為y=x，

∴直線OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為：y=x﹣m，

∴x﹣m=x²﹣3x，    

∵拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，   ∴△=16﹣4m=0，

解得：m=4，                                               

此時(shí)x₁=x₂=2，y=x²﹣3x=﹣2， 

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣2）．                                 

（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），

∴點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（0，3），

根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得出∠A′BO=∠ABO，

設(shè)直線A′B的解析式為y=k₂x+3，過點(diǎn)（4，4），

∴4k₂+3=4，解得：k₂=，    ∴直線A′B的解析式是y=，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，    ∴BA′和BN重合，即點(diǎn)N在直線A′B上，

∴設(shè)點(diǎn)N（n，），又點(diǎn)N在拋物線y=x²﹣3x上，

∴=n²﹣3n，    解得：n₁=﹣，n₂=4（不合題意，舍去）

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）．            

如圖1，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，

則N₁（，），B₁（4，﹣4），

∴O、D、B₁都在直線y=﹣x上．

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，    ∴△P₁OD∽△N₁OB₁，

∴，    ∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（，）．

將△OP₁D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P₂（，），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）或（，）．