Question

【題目】在等邊△ABC中．

（1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點(diǎn)，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數(shù)；

（2）點(diǎn)P，Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP=AQ，點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接AM，PM．

①依題意將圖2補(bǔ)全；

②求證：PA=PM．

Answer 1

【答案】（1）80°（2）①見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=60°，由三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和得出∠APC的度數(shù)，再由等邊對(duì)等角即可得出結(jié)論；

（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②證明△APM為等邊三角形即可得出結(jié)論．

（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠APC=∠BAP+∠B=80°．

∵AP=AQ，∴∠AQB=∠APC=80°．

（2）① 補(bǔ)全圖形如圖所示．

②過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖，∵△ABC為等邊三角形，AP=AQ，∴∠PAH=∠QAH，∠BAH=∠CAH，∴∠PAB=∠QAC．

∵點(diǎn)Q，M關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM，∴∠PAB=∠MAC，AP=AM．

∵∠BAC=60°，∴∠PAM=∠BAC=60°．

∵AP=AM，∴△APM為等邊三角形，∴PA=PM．