Question

【題目】已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在C處，CP＝CQ＝2，將三角板CPQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)（保持點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部），連接AP、BP、BQ．

（1）如圖1求證：AP＝BQ；

（2）如圖2當(dāng)三角板CPQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、P、Q在同一直線時(shí)，求AP的長；

（3）設(shè)射線AP與射線BQ相交于點(diǎn)E，連接EC，寫出旋轉(zhuǎn)過程中EP、EQ、EC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2） （3）EP+EQ= EC

【解析】

（1）由題意可得：∠ACP=∠BCQ，即可證△ACP≌△BCQ，可得 AP=CQ；

作 CH⊥PQ 于 H，由題意可求 PQ=2 ，可得 CH=，根據(jù)勾股定理可求

AH= ，即可求 AP 的長；

作 CM⊥BQ 于 M，CN⊥EP 于 N，設(shè) BC 交 AE 于 O，由題意可證△CNP≌△ CMQ，可得 CN=CM，QM=PN，即可證 Rt△CEM≌Rt△CEN，EN=EM，∠CEM=

∠CEN=45°，則可求得 EP、EQ、EC 之間的數(shù)量關(guān)系．

解：（1）如圖 1 中，∵∠ACB=∠PCQ=90°，

∴∠ACP=∠BCQ 且 AC=BC，CP=CQ

∴△ACP≌△BCQ（SAS）

∴PA=BQ

如圖 2 中，作 CH⊥PQ 于 H

∵A、P、Q 共線，PC=2，

∴PQ=2，

∵PC=CQ，CH⊥PQ

∴CH=PH=

在 Rt△ACH 中，AH==

∴PA=AH﹣PH= -

解：結(jié)論：EP+EQ= EC

理由：如圖 3 中，作 CM⊥BQ 于 M，CN⊥EP 于 N，設(shè) BC 交 AE 于 O．

∵△ACP≌△BCQ，

∴∠CAO=∠OBE，

∵∠AOC=∠BOE，

∴∠OEB=∠ACO=90°，

∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°，

∴∠MCN=∠PCQ=90°，

∴∠PCN=∠QCM，

∵PC=CQ，∠CNP=∠M=90°，

∴△CNP≌△CMQ（AAS），

∴CN=CM，QM=PN，

∴CE=CE，

∴Rt△CEM≌Rt△CEN（HL），

∴EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°

∴EP+EQ=EN+PN+EM﹣MQ=2EN，EC=EN，

∴EP+EQ=EC