Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（2

3

，0），點B在第一象限內(nèi)，等邊△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點C，過點C作該圓的切線交x軸于點D，連接AC，BC．
（1）直接寫出∠ACO的度數(shù)；
（2）求證：OC=BC；
（3）求直線CD對應(yīng)的函數(shù)表達式．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）直接根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠CAO=∠CAB=30°，再由等邊三角形三線合一的性質(zhì)得出AC是OB的垂直平分線，根據(jù)垂徑定理即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)圓周角定理得出AC是直徑，由CD是圓的切線得出CD⊥AC．再根據(jù)∠ACO=∠B=60°可知∠DCO=∠CAO=30°．故可得出OC，OD的長，進而得出C、D兩點的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線CD對應(yīng)的函數(shù)表達式即可．

解答：（1）解：∵△OAB是等邊三角形，
∴∠ACO=∠ABO=60°；

（2）證明：∵∠AOC=90°，∠ACO=60°，∠OAB=60°，
∴∠CAO=∠CAB=30°．
∴AC是OB的垂直平分線，
∴OC=BC；

（3）解：∵∠AOC=90°，
∴AC是直徑．
∵CD是圓的切線，
∴CD⊥AC．
又∵∠ACO=∠B=60°，
∴∠DCO=∠CAO=30°．
∴OC=2，OD=

2 3

3

．
∴C（0，2），D（-

2 3

3

，0）．
設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=kx+b（b≠0），
∴

- 2 3 3 k+b=0 b=2

，
∴

k= 3 b=2

，
∴直線CD對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=

3

x+2．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到圓周角定理、垂徑定理、切線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)等知識，難度適中．