Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=2

3

，∠BAD=60°，AC交BD于點O，以點D為圓心的⊙D與邊AB相切于點E．
（1）求AC的長；
（2）求證：⊙D與邊BC也相切．

Answer 1

考點：切線的判定與性質,菱形的性質

專題：

分析：（1）由菱形的性質得∴∠BAO=30°，∠AOB=90°，AC=2AO，再求得AO的值即可得AC；
（2）連接DE，過點D作DF⊥BC，垂足為點F，由菱形的性質可得BD平分∠ABC，根據(jù)角平分線的性質可得DF=DE，得出⊙D與邊BC也相切．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°
∴∠BAO=30°，∠AOB=90°，AC=2AO
∴AO=AB•cos∠BAO=2

3

×cos30°=3
∴AC=6．

（2）證明：連接DE，過點D作DF⊥BC，垂足為點F

∵四邊形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC
∵⊙D與邊AB相切于點E，∴DE⊥AB
∵DF⊥BC
∴DF=DE
∴⊙D與邊BC也相切．

點評：本題主要考查了菱形的性質、解直角三角形、圓的切線的判定及性質．知識點較多，綜合性強，關鍵是對這些知識的熟練掌握．