Question

如圖，D是⊙O直徑CA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）若E是劣弧

BC

上一點(diǎn)，AE與BC相交于點(diǎn)F，△BEF的面積為9，且cos∠BFA=

3

4

，求△ACF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，可判斷△DOB是直角三角形，則∠OBD=90°，BD是⊙O的切線；
（2）同弧所對的圓周角相等，可證明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．

解答：（1）證明：連接BO，
方法一：∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB，
又∵在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切線；
方法二：∵AB=AO，BO=AO
∴AB=AO=BO
∴△ABO為等邊三角形
∴∠BAO=∠ABO=60°
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
又∵∠D+∠ABD=∠BAO=60°
∴∠ABD=30°，
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切線；
方法三：∵AB=AD=AO
∴點(diǎn)O、B、D在以O(shè)D為直徑的⊙A上
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直徑
∴∠ABC=90°
在Rt△BFA中，cos∠BFA=

BF

AF

=

3

4

，
∴

S△BEF

S△ACF

=（

3

4

）²=

9

16

，
又∵S_△BEF=9
∴S_△ACF=16．

點(diǎn)評：本題綜合考查了圓的切線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等內(nèi)容，是一個綜合較強(qiáng)的題目，難度較大．