【題目】九年級(3)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90,且x為整數(shù))的售價與銷售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價為30元/件,設(shè)該商品的售價為y(單位:元/件),每天的銷售量為p(單位:件),每天的銷售利潤為w(單位:元).

時間x(天)

1

30

60

90

每天銷售量p(件)

198

140

80

20


(1)求出w與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時,當(dāng)天的銷售利潤最大?并求出最大利潤;
(3)該商品在銷售過程中,共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元?請直接寫出結(jié)果.

【答案】
(1)解:當(dāng)1≤x≤50時,設(shè)商品的售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k、b為常數(shù)且k≠0),

∵y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)(0,40)、(50,90),

,解得: ,

∴售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=x+40;

當(dāng)50≤x≤90時,y=90.

∴售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=

由數(shù)據(jù)可知每天的銷售量p與時間x成一次函數(shù)關(guān)系,

設(shè)每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n(m、n為常數(shù),且m≠0),

∵p=mx+n過點(diǎn)(60,80)、(30,140),

,解得: ,

∴p=﹣2x+200(0≤x≤90,且x為整數(shù)),

當(dāng)1≤x≤50時,w=(y﹣30)p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;

當(dāng)50≤x≤90時,w=(90﹣30)(﹣2x+200)=﹣120x+12000.

綜上所示,每天的銷售利潤w與時間x的函數(shù)關(guān)系式是w=


(2)解:當(dāng)1≤x≤50時,w=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050,

∵a=﹣2<0且1≤x≤50,

∴當(dāng)x=45時,w取最大值,最大值為6050元.

當(dāng)50≤x≤90時,w=﹣120x+12000,

∵k=﹣120<0,w隨x增大而減小,

∴當(dāng)x=50時,w取最大值,最大值為6000元.

∵6050>6000,

∴當(dāng)x=45時,w最大,最大值為6050元.

即銷售第45天時,當(dāng)天獲得的銷售利潤最大,最大利潤是6050元


(3)解:當(dāng)1≤x≤50時,令w=﹣2x2+180x+2000≥5600,即﹣2x2+180x﹣3600≥0,

解得:30≤x≤50,

50﹣30+1=21(天);

當(dāng)50≤x≤90時,令w=﹣120x+12000≥5600,即﹣120x+6400≥0,

解得:50≤x≤53 ,

∵x為整數(shù),

∴50≤x≤53,

53﹣50+1=4(天).

綜上可知:21+4﹣1=24(天),

故該商品在銷售過程中,共有24天每天的銷售利潤不低于5600元


【解析】(1)當(dāng)1≤x≤50時,設(shè)商品的售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,由點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出此時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)圖形可得出當(dāng)50≤x≤90時,y=90.再結(jié)合給定表格,設(shè)每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n,套入數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售數(shù)量即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)根據(jù)w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,分段考慮其最值問題.當(dāng)1≤x≤50時,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值;當(dāng)50≤x≤90時,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值,兩個最大值作比較即可得出結(jié)論;(3)令w≥5600,可得出關(guān)于x的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出x的取值范圍,由此即可得出結(jié)論.

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(2)若AB=8,點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動(點(diǎn)P不與A,B兩點(diǎn)重合),設(shè)PD=x,CD2=y. ①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
②當(dāng)y=3時,求P,M兩點(diǎn)之間的距離.

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