Question

已知關(guān)于x一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根

（1）求k取值范圍；

（2）當(dāng)k最小的整數(shù)時，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）將（2）中求得的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象．請你畫出這個新圖象，并求出新圖象與直線有三個不同公共點(diǎn)時m值．

 

 

Answer 1

（1）k＞-1；（2）（1，-4）；（-1，0），（3，0）；（3）畫圖見解析，1或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可知根的判別式△＞0，即可求出k的取值范圍.

（2）根據(jù)k的取值范圍可得當(dāng)k=0時，為k最小的整數(shù)，進(jìn)而可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)以及它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

（3）由（2）畫出此函數(shù)圖象后，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數(shù)有3個交點(diǎn)，可以有兩種情況：

①直線經(jīng)過原二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)A（即左邊的交點(diǎn)），可將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式中，即可求出m的值；

②原二次函數(shù)圖象x軸以下部分翻折后，所得部分圖象仍是二次函數(shù)，該二次函數(shù)與原函數(shù)開口方向相反、對稱軸相同、與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)相同，可據(jù)此判斷出該函數(shù)的解析式，若直線與新函數(shù)圖象有三個交點(diǎn)，那么當(dāng)直線與該二次函數(shù)只有一個交點(diǎn)時，恰好滿足這一條件，那么聯(lián)立直線與該二次函數(shù)的解析式，可化為一個關(guān)于x的一元二次方程，那么該方程的判別式△=0，根據(jù)這一條件可確定m的取值．

試題解析：（1）由題意，得，

∴k＞-1，

∴k的取值范圍為k＞-1.

（2）∵k＞-1，且k取最小的整數(shù)，∴k=0．

∴.

則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）.

∵的圖象與x軸相交，

∴，∴解得：x=-1或3.

∴拋物線與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）；

（3）翻折后所得新圖象如圖所示．

平移直線y=x+m知：直線位于l1和l2時，它與新圖象有三個不同的公共點(diǎn)．

①當(dāng)直線位于l1時，此時l1過點(diǎn)A（-1，0），

∴0=-1+m，即m=1．

②當(dāng)直線位于l2時，此時l2與函數(shù)的圖象有一個公共點(diǎn)，

∴方程x+m=-x2+2x+3，即x2-x-3+m=0有兩個相等實根.

∴△=1-4（m-3）=0，即m=．

當(dāng)m=時，x1=x2=滿足-1≤x≤3，

由①②知m=1或m=．

考點(diǎn)：1.拋物線與x軸的交點(diǎn)；2.二次函數(shù)圖象與幾何變換；3.一元二次方程根的判別式；4.分類思想的應(yīng)用．