Question

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BC，AD=8cm，∠D=45°，BC=6cm．

（1）求cos∠B的值；

（2）點E為BC延長線上的動點，點F在線段CD上（點F與點C不重合），且滿足∠AFC=∠ADE，如圖2，設(shè)BE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）點E為射線BC上的動點，點F在射線CD上，仍然滿足∠AFC=∠ADE，當(dāng)△AFD的面積為3cm²時，求BE的長．

Answer 1

【考點】相似形綜合題．

【分析】（1）要求cos∠B的值，由條件知道△ACB是直角三角形，然后 根據(jù)余弦定義就可以求出．

（2）要求函數(shù)的解析式，需要運(yùn)用∠AFC=∠ADE 尋找相似三角形，利用線段比來代換y與x之間的關(guān)系，找三角形相似是關(guān)鍵．

（3）要求BE的長，點E存在兩種情況，再運(yùn)用（2）的相似結(jié)論，根據(jù)相似三角形的面積比得關(guān)系就可以求出BE的長．

【解答】解：（1）∵AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC．

∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°．

∴∠DAC=90°．

∵∠D=45°，

∴∠ACD=45°．

∴AD=AC．

∵AD=8cm，

∴AC=8cm．

∵BC=6cm，

∴AB==10cm．

∴cos∠B==．

（2）∵AD∥BC，

∴∠ADF=∠DCE．     

∵∠AFC=∠FDA+∠FAD，∠ADE=∠FDA+∠EDC，

又∵∠AFC=∠ADE，

∴∠FAD=∠EDC．

∴△ADF∽△DCE．

∴=．

在Rt△ADC中，DC²=AD²+AC²，

∵AD=AC=8cm，

∴DC=8cm．

∵BE=xcm，

∴CE=（x﹣6）cm．

又∵DF=ycm，

∴=．

∴y=x﹣3．

定義域為6＜x＜22．

（3）當(dāng)點E在BC的延長線上，由（2）可得：△ADF∽△DCE，

∴=（）²，

∵S_△AFD=3cm²，AD=8cm，DC=8cm，

∴S_△DCE=6cm²．

∵S_△DCE=×CE×AC，

∴×（BE﹣6）×8=6，

∴BE=7.5cm．

如圖3，當(dāng)點E在線段BC上，

由（2）△ADF∽△DCE，

∴=（）²，

∵S_△AFD=3cm²，AD=8cm，DC=8cm，

∴S_△DCE=6cm²．

∴S_△DCE=×（6﹣BE）×8=6．

∴BE=4.5cm．

所以BE的長為7.5cm或4.5cm．