Question

在△ABC中，AC=BC，點O為底邊AB中點，點D為AC腰上一點，連接BD，過點C作CE⊥BD，垂足為點E，連結(jié)EO．
（1）如圖1，求證：∠OEB=

1

2

∠ACB；
（2）如圖2，當(dāng)∠ACB=90°時，連接AE，若∠AEO=90°，請你探究線段DE與EO之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：四點共圓,等腰三角形的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）取BC的中點P，連接PO、PE、CO，如圖1．要證∠OEB=

1

2

∠ACB，只需證∠OEB=∠BCO，只需證C、E、O、B四點共圓，只需證PE=PO=PC=PB即可．
（2）過點A作AM⊥BD于M，過點O作ON⊥BD于N，連接CO，如圖2．由C、E、O、B四點共圓可得∠OEB=45°，從而可得AE=

2

AM=

2

EM，EO=

2

EN=

2

ON．易證△BNO∽△BMA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AM=2ON，進(jìn)而有AE=2EO．易證△AMD∽△AEO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AM=2DM，就可得到MD=ED=

1

2

ME=

1

2

AM=ON，進(jìn)而有EO=

2

ON=

2

ED．

解答：解：（1）證明：取BC的中點P，連接PO、PE、CO，如圖1．
∵CA=CB，點O是AB的中點，
∴∠ACO=∠BCO=

1

2

∠ACB，CO⊥AB．
∵CE⊥DB，CO⊥AB，
∴∠CEB=∠COB=90°．
∵點P是BC的中點，
∴PE=PO=PC=PB=

1

2

BC，
∴點C、E、O、B在以點P為圓心，PO為半徑的圓上，
∴∠OEB=∠BCO，
∴∠OEB=

1

2

∠ACB．

（2）EO=

2

DE．
證明：過點A作AM⊥BD于M，過點O作ON⊥BD于N，連接CO，如圖2．
∵C、E、O、B四點共圓，
∴∠OEB=∠BCO=

1

2

∠ACB=45°．
∵AM⊥BD，ON⊥BD，
∴∠AME=∠ONE=90°，
∴∠MAE=∠MEA=∠EON=∠OEN=45°，
∴AE=

2

AM=

2

EM，EO=

2

EN=

2

ON．
∵∠AME=∠ONB=90°，
∴ON∥AM，
∴△BNO∽△BMA，
∴

ON

AM

=

OB

AB

=

1

2

，
∴AM=2ON，
∴AE=2EO．
∵∠MAE=∠CAO=45°，
∴∠MAD=∠EAO．
∵∠M=∠AEO=90°，
∴△AMD∽△AEO，
∴

AM

DM

=

AE

OE

=2，
∴AM=2DM，
∴AM=ME=2DM，
∴MD=ED=

1

2

ME=

1

2

AM=ON，
∴EO=

2

ON=

2

ED．

點評：本題主要考查了四點共圓的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識，綜合性比較強(qiáng)，難度比較大，證到∠OEB=45°及△AMD∽△AEO是解決第（2）小題的關(guān)鍵．