Question

在△ABC中，∠ABC=90°，BC=AB，P是內(nèi)一點(diǎn)，且PA=1，PB=2，PC=3，試求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理的逆定理,等腰直角三角形

專題：

分析：由于∠ABC=90°，BC=AB，則可以把△PBC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BD=BP=2，AD=PC=3，∠PBD=90°，得到△PBD為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到PD=

2

PB=2

2

，∠DPB=45°，在△APD中易得AP²+PD²=AD²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△APD為直角三角形，然后利用∠APB=∠APD+∠DPB計(jì)算即可．

解答：解：∵∠ABC=90°，BC=AB，
∴把△PBC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，如圖，
∴BD=BP=2，AD=PC=3，∠PBD=90°，
∴△PBD為等腰直角三角形，
∴PD=

2

PB=2

2

，∠DPB=45°，
在△APD中，AP=1，PD=2

2

，AD=3，
∵1²+（2

2

）²=3²，
∴AP²+PD²=AD²，
∴△APD為直角三角形，
∴∠APD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．