【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,以AD為弦的⊙O交AB,AC于E,F(xiàn),已知EF∥BC.

(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若已知AE=9,CF=4,求DE長;
(3)在(2)的條件下,若∠BAC=60°,求tan∠AFE的值及GD長.

【答案】
(1)證明:連接OD,

∵AD是△ABC的角平分線,

∴∠1=∠2,

= ,

∴OD⊥EF,

∵EF∥BC,

∴OD⊥BC,

∴BC是⊙O的切線


(2)解:連接DE,

= ,

∴DE=DF,

∵EF∥BC,

∴∠3=∠4,

∵∠1=∠3,

∴∠1=∠4,

∵∠DFC=∠AED,

∴△AED∽△DFC,

,即 ,

∴DE2=36,

∴DE=6


(3)解:過F作FH⊥BC于H,

∵∠BAC=60°,

∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°,

∴FH= DF= =3,DH=3 ,

∴CH= =

∵EF∥BC,

∴∠C=∠AFE,

∴tan∠AFE=tan∠C= =

∵∠4=∠2.∠C=∠C,

∴△ADC∽△DFC,

,

∵∠5=∠5,∠3=∠2,

∴△ADF∽△FDG,

,

= ,即 =

∴DG=


【解析】(1)連半徑,證垂直。連接OD,由AD是△ABC的角平分線。得出圓周角相等,繼而得弧相等,根據(jù)垂徑定理得出OD⊥EF,再根據(jù)EF∥BC,得到OD⊥BC,即可得證。
(2)先證明DE=DF,再證明△AED∽△DFC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得對應(yīng)邊成比例,即可求出DE的長。
(3)抓住已知∠BAC=60°,既可以證得∠4=30°,由此添加輔助線過F作FH⊥BC于H,Rt△DFH和Rt△FHC中就可以求出線段FH、DH、CH的長,根據(jù)平行得角相等,即可求出an∠AFE的值,再證明△ADC∽△DFC和△ADF∽△FDG,找到中間比,繼而就可以求出DG的長。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解垂徑定理的相關(guān)知識,掌握垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧,以及對切線的判定定理的理解,了解切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

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