Question

【題目】已知如圖，四邊形中，于點(diǎn)，．點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，以為邊作平行四邊形，則最小值是__________．

Answer 1

【答案】4

【解析】

設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)O，連接AO并延長AO交BC的延長線于E，根據(jù)平行四邊形得性質(zhì)可知點(diǎn)O為CD、PQ的中點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DAE=∠E，利用AAS可證明△AOD≌△EOC，可得AD=CE，可求出BE的長，由垂線段最短可知當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最短，可得PQ為最小值，由AB⊥BC，可得OP//BC，由OD=OC可得OP為△ABE的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可求出OP的長，進(jìn)而可求出PQ的長．

如圖，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)O，連接AO并延長AO交BC的延長線于E，

∵四邊形是平行四邊形，

∴O是DC、PQ的中點(diǎn)，即OD=OC，OP=OQ，

∵

∴∠DAE=∠E，

在△AOD和△EOC中，

∴△AOD≌△EOC（AAS），

∴，

∵AD=1，BC=3，

∴BE=4，

當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最短，即PQ有最小值，

∵AB⊥BC，AD//BC，

∴OP//AD//BC，

∴OP為△ABE的中位線，

∴OP=BE=2，

∴PQ=2OP=4，即PQ的最小值為4，

故答案為：4