Question

如圖，△ABC和△ACF均為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別為AD，BE邊上的點(diǎn)，且AD=BE，AE與CD交于G點(diǎn)，連接GF．
（1）求∠EGC的度數(shù)；
（2）求證：AG+CG=GF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由條件證明△ABE≌△CAD可得到∠BAE=∠ACD，再利用角的和差可求得∠EGC的度數(shù)；
（2）延長CD到H，使HG=AG，連接AH，證明△HAC≌△GAF即可．

解答：（1）解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠ABE=∠CAD=60°，
又∵AD=BE，
在△ABE和△CAD中，

AB=AC ∠ABE=∠CAD BE=AD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠BAE=∠ACD，
則∠EGC=∠GAC+∠ACD=∠GAC+∠BAE=∠BAC=60°；
（2）證明：延長CD到H，使HG=AG，連接AH，
∵∠AGH=∠EGC=60°，
∴△AGH是等邊三角形，
∴AG=AH，∠HAG=60°，
∵△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF，∠CAF=60°，
∴∠HAC=∠FAG+∠GAC=60°+∠GAC
∠GAF=∠CAF+∠GAC=60°+∠GAC
∴∠HAC=∠GAF，
在△HAC和△GAF中，

AH=AG ∠HAC=∠GAF AC=AF

，
∴△HAC≌△GAF（SAS），
∴HC=GF，
∵HC=HG+GC=AG+GC，
∴AG+GC=GF．

點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件找到可以證明全等的三角形是解題的關(guān)鍵，如果找不到也可以構(gòu)造．