Question

如圖，已知拋物線C₁與坐標(biāo)軸的交點依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）．
（1）求拋物線C₁關(guān)于原點對稱的拋物線C₂的解析式；
（2）設(shè)拋物線C₁的頂點為M，拋物線C₂與x軸分別交于C，D兩點（點C在點D的左側(cè)），頂點為N，四邊形MDNA的面積為S．若點A，點D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；同時，點M，點N以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動，直到點A與點D重合，四點同時停止．求出四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；當(dāng)t為何值時，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值．
（3）在運動過程中，四邊形MDNA是否能形成矩形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．
（4）若P為拋物線C₁上的一個點，連接PM，PN，當(dāng)S_△PMN=S_矩形MDNA時，過點P作直線PQ∥MN交軸于點Q，則點Q的坐標(biāo)是多少？直接寫出結(jié)果．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）可先求出A、B、E關(guān)于原點對稱的對稱點的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)不難得出OA=OD，OM=ON，因此四邊形AMDN是平行四邊形，那么其面積就是三角形ADN面積的2倍，可據(jù)此來求S，t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）根據(jù)（2）得出的函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可得出S的最大值及對應(yīng)的t的值．
（4）此時點Q離MD的距離等于點A到MD的距離的2倍．

解答：解：（1）∵C₁關(guān)于C₂原點對稱，則有A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）
對稱點（4，0），（2，0），（0，-8）在拋物線C₂上
設(shè)拋物線C₂的解析式為：y=a（x-4）（x-2）
又當(dāng)x=0時，y=-8
解得a=-1
∴C₂解析式為y=-x²+6x-8；
             
（2）由中心對稱知：
S=2S_△AND
而AD=8-2t，AD邊上高h(yuǎn)=1+2t
∴S=2×

1

2

(8-2t)(1+2t)
即S=-4t²+14t+8（0≤t≤4）；
由S=-4t2+14t+8=-4(t-

7

4

)2+20

1

4

∴當(dāng)t=

7

4

時，S_最大值=20

1

4

；

（3）在轉(zhuǎn)動的過程中，假設(shè)四邊形MDNA是矩形，連結(jié)ON，則有ON=OD，OD=4-t
由勾股定理得：ON²=3²+（1+2t）²
∴3²+（1+2t）²=（4-t）²
即t²+4t-2=0
解得t1=-2+

6

t2=-2-

6

，
又t≥0
∴t=-2+

6

，
∴當(dāng)運動了(-2+

6

)秒時，四邊形MDNA為矩形．

（4）∵S_△PMN=S_矩形MDNA，PQ∥MN，
∴點Q離MD的距離等于點A到MD的距離的2倍．
∵A（-4，0），
∴Q（-8，10）．

點評：本題以二次函數(shù)為背景，結(jié)合動態(tài)問題、存在性問題、最值問題，是一道較傳統(tǒng)的壓軸題，能力要求較高．