Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上一點，于點Q，過點B作半圓O的切線，交OQ的延長線于點P，PA交半圓O于R，則下列等式中正確的是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

（1）由=，及AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR可得＝，由AB≠AP得≠，故A不正確．
（2）連接OR，易得=，=2， 得到≠ ，故B不正確．
（3）由△OBP∽△OQB得＝，即＝，由AQ≠OP得≠，故C不正確．
（4）連接AQ，易證△OQB∽△OBP，得到=，也就有=，可得△OAQ∽OPA，從而有∠OAQ=∠APO．易證∠CAP=∠APO，從而有∠CAP=∠OAQ，則有∠CAQ=∠BAP，從而可證△ACQ∽△ABP，可得，所以D正確．

解：（1）連接OR,如圖1，

∵＝，
且AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR，
∴＝，

∵AB≠AP，
∴≠，故A不正確．

（2）如圖1所示．
∵OQ⊥BC，
∴BQ=CQ．
∵AO=BO，
∴OQ=AC．
∵OR=AB．
∴=，=2．
∴≠．
∴≠ ，故B不正確．

（3）連接AQ，如圖2，

∵△OBP∽△OQB，
∴＝，

∴＝．
∵AQ≠OP，
∴≠，故C不正確．

（4）如圖2，
∵BP與半圓O切于點B，AB是半圓O的直徑，
∴∠ABP=∠ACB=90°．
∵OQ⊥BC，
∴∠OQB=90°．
∴∠OQB=∠OBP=90°．
又∵∠BOQ=∠POB，
∴△OQB∽△OBP．
∴=，
∵OA=OB，
∴=，
又∵∠AOQ=∠POA，
∴△OAQ∽△OPA．
∴∠OAQ=∠APO．
∵∠OQB=∠ACB=90°，
∴AC∥OP．
∴∠CAP=∠APO．
∴∠CAP=∠OAQ．
∴∠CAQ=∠BAP．
∵∠ACQ=∠ABP=90°，
∴△ACQ∽△ABP．
∴．
故D正確．

故選：D．