Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，OA=4cm，OC=3cm，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從O、B同時(shí)出發(fā)，以每秒1厘米的速度運(yùn)動(dòng)．其中，點(diǎn)E沿OA向終點(diǎn)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿BC向終點(diǎn)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)F作FP⊥BC，交AC于點(diǎn)P，連結(jié)EP．用ⅹ表示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（1）分別寫出當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了1秒、2秒及ⅹ秒時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）試求△EPA面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x為何值時(shí)，△EPA的面積最大；
（3）探索：當(dāng)x為何值時(shí)△EPA是一個(gè)等腰三角形？你發(fā)現(xiàn)了幾種情況？寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．（注：正確寫出兩種情況的另加3分，三種情況的另加5分）

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）首先利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，根據(jù)時(shí)間即可求得BF的長，則CF即可求得，即求得P的橫坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入直線AC的解析式即可求得縱坐標(biāo)，得到P的坐標(biāo)；
（2）利用時(shí)間x表示出OE的長，則AE即可求解，根據(jù)三角形的面積公式即可求得函數(shù)解析式；
（3）首先利用x表示出AP、EP和AE的長，然后分EP=AP、AE=EP、AP=AE三種情況列方程即可求得x的值，求得P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：

b=3 4k+b=0

，
解得：

b=3 k=- 3 4

，
則直線AC的解析式是：y=-

3

4

x+3，
運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，BF=1，則CF=4-1=3，
把x=3代入y=-

3

4

x+3得：y=

3

4

，則P的坐標(biāo)為（3，

3

4

）；
同理，運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)P的坐標(biāo)為（2，

3

2

）；
運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)P的坐標(biāo)為（4-x，

3

4

x）；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是x秒時(shí)，OE=x，則AE=4-x，
則y=

1

2

AE•

3

4

x=

1

2

（4-x）•

3

4

x，
即y=-

3

8

x²+

3

2

x，
當(dāng)x=2時(shí)面積最大，最大值為

3

2

．

（3）∵PF∥AB，
∴

AP

AC

=

BF

BC

，即

AP

5

=

x

4

，
則AP=

5

4

x，
又∵EP=

(4-2x)2+( 3 4 x)2

，AE=4-x，
當(dāng)AP=EP時(shí)，P應(yīng)該在線段AE的中垂線上，則x=4-2x，
解得：x=

4

3

，則P的坐標(biāo)是：（

8

3

，1）；
當(dāng)AE=EP時(shí)，4-x=

(4-2x)2+( 3 4 x)2

，
解得：x=

128

57

或0（舍去），此時(shí)P的坐標(biāo)是（

100

57

，

32

19

）；
當(dāng)AE=AP時(shí)，4-x=

5

4

x，解得：x=

16

9

，此時(shí)P的坐標(biāo)是（

20

9

，

4

3

）；
則x的值是：

4

3

或

128

57

或

16

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的應(yīng)用，求得P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．