Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，將邊沿軸翻折得到線(xiàn)段，連結(jié)交線(xiàn)段于點(diǎn).

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在軸上，且其坐標(biāo)為.

①求所在直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

②求證：點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)；

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，，的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，試求的值.（直接寫(xiě)出答案，不必說(shuō)明理由）

Answer 1

【答案】（1）①；②詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）①根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，根據(jù) ，，得.根據(jù)翻折得到線(xiàn)段，得.設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可求解；

②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求證，即可得點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn).

（2）連接交軸于點(diǎn).證明為的中點(diǎn)，得出點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到，還可得到等腰直角，故，求得.

解：（1）①∵四邊形是平行四邊形，

∴，.

又∵點(diǎn)落在軸上，

∴軸，∴軸.

∵，，∴.

又∵邊沿軸翻折得到線(xiàn)段，

∴.

設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，

∴，解得.

∴所在直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為.

②證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，

∴.

∵邊沿軸翻折得到線(xiàn)段，

∴，∴.

又∵，∴，

∴，即點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn).

（2）.

連接交軸于點(diǎn).∴為的中點(diǎn)；

∴由（1）可得出點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，

∵邊沿軸翻折得到線(xiàn)段且，

∴，.

∵，∴.

過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得，得到等腰直角.

∴.

∴.