Question

如圖①，雙曲線y=（k≠0）和拋物線y=ax₂+bx（a≠0）交于A、B、C三點，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直線CO交雙曲線于另一點D，拋物線與x軸交于另一點E．

（1）求雙曲線和拋物線的解析式；

（2）拋物線在第一象限部分是否存在點P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，請求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖②過B作直線l⊥OB，過點D作DF⊥l于點F，BD與OF交于點N，求的值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）過B（3，1），C（﹣1，﹣3），

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+x，

把B（3，1）代入y=（k≠0）得：1=，

解得：k=3，

∴雙曲線的解析式為：y=．

 

（2）∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），設直線BC為y=kx+b，

∴，

解得k=1，b=﹣2，

∴直線BC為：y=x﹣2，

∴與坐標軸的交點（2，0），（0，﹣2），

過O作OM⊥BC，則OM=，

∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），

∴OB=OC=，

∴BM=2，

∴tan∠COM===2，

∵∠COM+∠BCD=90°，∠POE+∠BCD=90°，

∴∠POE=∠COM，

∴tan∠POE=2，

∵P點是拋物線上的點，設P（m，﹣m²+m），

∴=2，

解得：m=，

∴P（，1），

 

（3）∵直線CO過C（﹣1，﹣3），

∴直線CO的解析式為y=3x，

解，

解得，

∴D（1，3），

∵B（3，1），

∴直線OB的斜率=，

∵直線l⊥OB，過點D作DF⊥l于點F，

∴DF∥OB，

∴直線l的斜率=﹣3，直線DF的斜率=，

∵直線l過B（3，1），直線DF過D（1，3），

∴直線l的解析式為y=﹣3x+10，直線DF解析式為y=x+，

解，

解得，

∴F（，），

∴DF==，

∵DF∥OB，OB=，

∴===．