【題目】如圖,拋物線(a≠0)經(jīng)過點A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y軸于點M.
(1)求拋物線的表達式;
(2)D為拋物線在第二象限部分上的一點,作DE垂直x軸于點E,交線段AM于點F,求線段DF長度的最大值,并求此時點D的坐標;
(3)拋物線上是否存在一點P,作PN垂直x軸于點N,使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似?若存在,求點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)
(2)點D的坐標為
(3)滿足條件的點P的坐標為(﹣8,﹣15)、(2,)、(10,﹣39)。
【解析】
分析:(1)把點A、B、C的坐標分別代入已知拋物線的解析式列出關于系數(shù)的三元一次方程組,通過解該方程組即可求得系數(shù)的值。
(2)由(1)中的拋物線解析式易求點M的坐標為(0,1).所以利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的關系式為。由題意設點D的坐標為,則點F的坐標為,易求DF關于的函數(shù)表達式,根據(jù)二次函數(shù)最值原理來求線段DF的最大值。
(3)對點P的位置進行分類討論:點P分別位于第一、二、三、四象限四種情況。利用相似三角形的對應邊成比例進行解答。
解:(1)把A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1)代入得,
.解得。
∴拋物線的表達式為。
(2)將x=0代入拋物線表達式,得y=1.∴點M的坐標為(0,1)。
設直線MA的表達式為y=kx+b,
則,解得。
∴直線MA的表達式為。
設點D的坐標為,
則點F的坐標為。
∴。
∴當時,DF的最大值為。
此時,即點D的坐標為。
(3)存在點P,使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似。
設P,
在Rt△MAO中,AO=3MO,要使兩個三角形相似,由題意可知,點P不可能在第一象限。
①設點P在第二象限時,∵點P不可能在直線MN上,∴只能PN=3NM。
∴,即,
解得m=﹣3或m=﹣8。
∵此時﹣3<m<0,∴此時滿足條件的點不存在。
②當點P在第三象限時,
∵點P不可能在直線MN上,∴只能PN=3NM。
∴,即,
解得m=﹣3(舍去)或m=﹣8。
當m=﹣8時,,∴此時點P的坐標為(﹣8,﹣15)。
③當點P在第四象限時,
若AN=3PN時,則,
即m2+m﹣6=0。
解得m=﹣3(舍去)或m=2。
當m=2時,,
∴此時點P的坐標為(2,)。
若PN=3NA,則,即m2﹣7m﹣30=0。
解得m=﹣3(舍去)或m=10。
當m=10時,,∴此時點P的坐標為(10,﹣39)。
綜上所述,滿足條件的點P的坐標為(﹣8,﹣15)、(2,)、(10,﹣39)。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】居民區(qū)內的“廣場舞”引起媒體關注,遼寧都市頻道為此進行過專訪報道.小平想了解本小區(qū)居民對“廣場舞”的看法,進行了一次抽樣調查,把居民對“廣場舞”的看法分為四個層次:A 非常贊同;B 贊同但要有時間限制;C 無所謂;D 不贊同.并將調查結果繪制了圖1和圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)求本次被抽查的居民有多少人?
(2)將圖1和圖2補充完整;
(3)求圖2中“C”層次所在扇形的圓心角的度數(shù);
(4)估計該小區(qū)4000名居民中對“廣場舞”的看法表示贊同(包括A層次和B層次)的大約有多少人.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應環(huán)保組織提出的“低碳生活”的號召,李明決定不開汽車而改騎自行車上班.有一天,李明騎自行車從家里到工廠上班,途中因自行車發(fā)生故障,修車耽誤了一段時間,車修好后繼續(xù)騎行,直至到達工廠(假設在騎自行車過程中勻速行駛).李明離家的距離(米)與離家時間(分鐘)的關系表示如下圖:
(1)李明從家出發(fā)到出現(xiàn)故障時的速度為 米/分鐘;
(2)李明修車用時 分鐘;
(3)求線段BC所對應的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量的取值范圍).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為節(jié)約用電,某校于本學期初制定了詳細的用電計劃.如果實際每天比計劃多用2度電,那么本學期的用電量將會超過2 530度;如果實際每天比計劃節(jié)約2度電,那么本學期的用電量將會不超過2 200度.若本學期的在校時間按110天計算,那么學校每天用電量應控制在什么范圍內?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】油電混合動力汽車是一種節(jié)油、環(huán)保的新技術汽車,某品牌油電混合動力汽車與普通汽車的相關成本數(shù)據(jù)估算如下表:
李老師計劃購入一輛該品牌的油電混合動力汽車,在只考慮車價和燃油成本的情況下,李老師預估了未來10年的用車成本,發(fā)現(xiàn)10年中平均每年行駛總里程達到一定公里數(shù)時,選擇油電混合動力汽車的成本不高于普通汽車.李老師預估的10年中平均每年行駛的總里程數(shù)至少為多少公里?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校教職工在會議室觀看“十九大”開幕式,每排坐13人,則有1人無處坐,每排坐14人,則空12個座位,則這間會議室共有座位的排數(shù)是__.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標系中,已知A(3,4),B(3,﹣1),C(﹣3,﹣2),D(﹣2,3).
(1)在圖上畫出四邊形ABCD,并求四邊形ABCD的面積;
(2)若P為四邊形ABCD形內一點,已知P坐標為(﹣1,1),將四邊形ABCD通過平移后,P的坐標變?yōu)椋?/span>2,﹣2),根據(jù)平移的規(guī)則,請直接寫出四邊形ABCD平移后的四個頂點的坐標.
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