Question

如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+6與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（4，0），過點(diǎn)C作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，S_△ADC=

49

5

．
（1）求直線CD的解析式；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線BE運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過P點(diǎn)作y軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)M，交直線DC于點(diǎn)N，線段MN的長(zhǎng)為d（d＞0），求d與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，DM=DE時(shí)，求t值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的面積，可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在直線AB上，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法，可得CD的解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，可得y_N=y_M=y_P=6-2t，根據(jù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得相應(yīng)的橫坐標(biāo)，根據(jù)平行于x軸的直線上的兩點(diǎn)間的距離是大數(shù)減小數(shù)，可得答案；
（3）根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠B與∠N的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得BM與BE的關(guān)系，根據(jù)解一元一次方程，可得答案．

解答：解：（1）如圖1：

作DH⊥x軸與H點(diǎn)．
直線y=2x+6與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（-3，0），B（0，6）又C（4，0）
∴AC=7．
S_△ADC=

1

2

AC×DH=

1

2

×7×DH=

49

5

∴DH=

14

5

當(dāng)y=

14

5

時(shí)，

14

5

=2x+6，
解得x=-

8

5

∴D（-

8

5

，

14

5

）
設(shè)CD的解析式為：y=kx+b，
圖象過C、D點(diǎn)，得

- 8 5 k+b= 14 5 4k+b=0

，解得

k=- 1 2 b=2

，
直線CD的解析式y(tǒng)=-

1

2

x+2；


（2）∵PN⊥y軸，
∴PN∥x軸，
∴y_N=y_M=y_P=6-2t．
當(dāng)y_N=6-2t時(shí)，6-2t=-

1

2

x+2，
解得x_N=4t-8；
當(dāng)y_M=6-2t時(shí)，6-2t=2x+6，
解得x_M=-t；
當(dāng)0≤t＜

8

5

時(shí)，如圖2，：

d=x_M-x_N=-t-（4t-8）=8-5t；
當(dāng)t＞

8

5

時(shí)，如圖3，

d=x_N-x_M=（4t-8）-（-t）=5t-8；


（3）當(dāng)0≤t＜

8

5

時(shí)，如圖2，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即E（0，2），BE=6-2=4．
∵NP⊥y，
∴∠NPE=90°，∠B+∠NEP=90°．
∵DC⊥AB，
∴∠BDE=90°，∠B+∠BED=90°，
∴∠N=∠B．
在△NDM和△BDE中，

∠N=∠B ∠NDM=∠BDE=90° DM=DE

∴△NDM≌△BDE（AAS），
∴NM=BE=4，8-5t=4，解得t=

4

5

當(dāng)t＞

8

5

時(shí)，如圖3，同理有△NDM≌△BDE，
∴NM=BE=4，5t-8=4，t=

12

5

綜上所述，當(dāng)t=

4

5

 或t=

12

5

時(shí)，DM=DE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了待定系數(shù)法求解析式，平行于x軸的直線上的兩點(diǎn)間的距離是大數(shù)減小數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)．