Question

【題目】在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一個(gè)問題讓學(xué)生探究：

已知：如圖在△ABC中，點(diǎn)D 是BA邊延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F 在BC上，且，連接DF交AC于點(diǎn)E .

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E恰為DF的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出的值；

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出的值（用含a的代數(shù)式表示）.

思考片刻后，同學(xué)們紛紛表達(dá)自己的想法：

甲：過點(diǎn)F作FG∥AB交AC于點(diǎn)G，構(gòu)造相似三角形解決問題；

乙：過點(diǎn)F作FG∥AC交AB于點(diǎn)G，構(gòu)造相似三角形解決問題；

丙：過點(diǎn)D作DG∥BC交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，構(gòu)造相似三角形解決問題；

老師說：“這三位同學(xué)的想法都可以” .

請(qǐng)參考上面某一種想法，完成第（1）問的求解過程，并直接寫出第（2）問的值.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1) ;(2)

【解析】試題分析：（1）分別對(duì)三種情況進(jìn)行求解即可；（2）由（1）的結(jié)果直接得出的值.

試題解析：

（1）甲同學(xué)的想法：過點(diǎn)F作FG∥AB交AC于點(diǎn)G ．

∴∠GFE=∠ADE，∠FGE=∠DAE

∴△AED∽△GEF.

∴ ．

∵E為DF的中點(diǎn)，

∴ED=EF ．

∴AD=GF ．

∵FG∥AB，

∴△CGF∽△CAB.

∴ ．

∵，

∴ ．

∴ ．

乙同學(xué)的想法：過點(diǎn)F作FG∥AC交AB于點(diǎn)G ．

∴ ．

∵E為DF的中點(diǎn)，

∴ED=EF ．

∴AD=AG ．

∵FG∥AC，

∴ ．

∵，

∴ ．

∴ ．

丙同學(xué)的想法：過點(diǎn)D作DG∥BC交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G ．

∴∠C=∠G，∠CFE=∠GDE

∴△GDE∽△CFE.

∴ ．

∵E為DF的中點(diǎn)，

∴ED=EF ．

∴DG=FC．

∵DG∥BC，

∴∠C=∠G，∠B=∠ADG

∴△ADG∽△ABC.

∴ ．

∵，

∴ ．

∴ ．

（2）．