Question

【閱讀】
定義：以線段l的一個端點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將這條線段順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°），再沿水平向右的方向平移m個單位后得到線段l′（若m＜0，則表示沿水平向左的方向平移|m|個單位），稱線段l到線段l′的變換為XP＜α，m＞．圖1中的變換XP＜30°，3＞就表示線段AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)30°，再沿水平向右的方向平移3個單位后得到線段A′B′的過程．


【操作】
圖2是邊長為1的正方形網(wǎng)格，線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上，以A為旋轉(zhuǎn)中心，在圖中畫出線段AB經(jīng)過變換XP＜90°，-2＞后的對應(yīng)線段A′B′．
【應(yīng)用1】
若將與水平方向垂直的線段AB經(jīng)變換XP＜60°，m＞后所得的圖形是線段CD（如圖3），其中點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，AB=4，∠C=45°，求m的值．
【應(yīng)用2】
如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，其中x軸的正方向為水平向右．若拋物線y=

1

2

x2-2x交x軸的正半軸于A，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，線段OA經(jīng)過XP＜α，m＞變換后對應(yīng)線段的一個端點(diǎn)正好落在拋物線的頂點(diǎn)處，其中請直接寫出所有符合題意的α和m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）如圖2所示；
（2）【應(yīng)用1】如圖3所示，根據(jù)題意可知∠A=90°∠ADC=150°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)求得∠PCB=∠PBC，進(jìn)而求得PB=PC，得出四邊形APCD是菱形，從而求得m的值；
（3）【應(yīng)用2】，由拋物線y=

1

2

x2-2x交x軸的正半軸于A，求得A的坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得OA=4，分兩種情況分別討論求得；

解答：
解：（1）【操作】，如圖2；

（2）【應(yīng)用1】如圖3所示，根據(jù)題意可知∠A=90°∠ADC=150°，
∵∠C=45°，
∴∠B=75°，
∵AB=AP=4，∠BAP=60°，
∴三角形APB是等邊三角形，
AP=PB=AB=4，∠APB=60°，
∴∠PBC=15°，∠PAD=30°，
∵AP=DC，AP∥DC，
∴四邊形APCD是平行四邊形，
∴AP=CD=4，∠PCD=∠PAD=30°，
∴∠PCB=15°，
∴∠PCB=∠PBC，
∴PB=PC，
∴四邊形APCD是菱形，
∴AD=AP=AB=4，
即m=4；

（3）【應(yīng)用2】有兩種情況：
如圖4所示，∵拋物線y=

1

2

x2-2x交x軸的正半軸于A，
∴令y=0，y=

1

2

x2-2x=0，
解得：x=0，x=4，
∴A（0，4），
∴OA=4，
由拋物線y=

1

2

x2-2x可知頂點(diǎn)坐標(biāo)A′為（2，2），
∴AM=2
∵O′A′=OA=4，
則sin∠A′O′M=

A′M

O′A′

=

1

2

，
∴∠A′O′M=30°，
即α=30°；
∴O′M=2

3

，
∴OO′=2

3

-2，
即m=2-2

3

；

如圖4所示：∠A^″OA=150°，O′M=2

3

，
所以，α=150°和m=2+2

3

．

點(diǎn)評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，拋物線的交點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，解直角三角函數(shù)等；