Question

【題目】如圖所示，直線，垂足為點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn)，且．直線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為．

（1）當(dāng)時(shí)，在直線上找點(diǎn)，使得是以為頂角的等腰三角形，此時(shí)_____．

（2）當(dāng)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，直線上存在點(diǎn)，使得是以為頂角的等腰三角形，請(qǐng)用不等式表示的取值范圍：_________．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）45°≤≤135°且≠90°

【解析】

（1）先求出旋轉(zhuǎn)后與的夾角，然后根據(jù)題意以點(diǎn)B為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，與直線的交點(diǎn)P即為所求，利用銳角三角函數(shù)即可求出BC和OC，再利用勾股定理求出PC，從而求出結(jié)論；

（2）當(dāng)由圖可知：當(dāng)BC≤AB且A、B、P不共線時(shí)，直線上存在點(diǎn)，使得是以為頂角的等腰三角形，求出當(dāng)BC=AB=時(shí)，的度數(shù)，然后根據(jù)題意即可求出結(jié)論．

解：（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)與的夾角為90°－60°=30°

以點(diǎn)B為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，與直線的交點(diǎn)P即為所求，即BP=AB=，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥，

BC=OB·sin30°=1＜BP，OC=OB·cos30°=

∴在直線上存在兩個(gè)P點(diǎn)滿足題意

根據(jù)勾股定理PC=

∴OP=OC－PC或OP=OC＋PC

∴OP=或

故答案為：或；

（2）當(dāng)由圖可知：當(dāng)BC≤AB且A、B、P不共線時(shí)，直線上存在點(diǎn)，使得是以為頂角的等腰三角形，

當(dāng)BC=AB=時(shí)，

sin∠BOC=

∴∠BOC=45°

當(dāng)點(diǎn)B在直線右側(cè)時(shí)，

90°－∠BOC=45°；

當(dāng)點(diǎn)B在直線左側(cè)時(shí)，

90°＋∠BOC=135°；

∵BC≤AB且A、B、P不共線時(shí)

∴45°≤≤135°且≠90°

故答案為：45°≤≤135°且≠90°．