Question

【題目】已知：在內(nèi)角不確定的△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，EF∥BC，平行移動(dòng)EF，如果梯形EBCF有內(nèi)切圓．

當(dāng)＝時(shí)，sinB＝；

當(dāng)＝時(shí)，sinB＝(提示：＝)；當(dāng)＝時(shí)，sinB＝．

（1）請(qǐng)你根據(jù)以上所反映的規(guī)律，填空：當(dāng)＝時(shí)，sinB的值等于______；

（2）當(dāng)＝時(shí)(n是大于1的自然數(shù))，請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示sinB＝______，并畫出圖形、寫出已知、求證和證明過(guò)程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見(jiàn)解析．

【解析】

(1) 的分母加1即是sinB的分母，sinB的分子是2乘以的分母的算術(shù)平方根，根據(jù)規(guī)律直接寫出答案即可；

(2) 由已知條件先寫出已知和求證，再進(jìn)行證明：
要想表示出sinB，需證明△AEM∽△ABN，得出，再設(shè)EM=k，則BN=nk，作EH∥MN交BC于H，則HN=EM=k．由勾股定理得，即可得出sinB的值；

解：(1)根據(jù)規(guī)律，當(dāng)＝時(shí)，

sinB=，

故當(dāng)＝時(shí)，sinB的值等于　

(2)．

已知：在△ABC中，AB＝AC，EF∥BC，⊙O內(nèi)切于梯形EBCF，點(diǎn)D、N、G、M為切點(diǎn)，＝時(shí)(n是大于1的自然數(shù))，如下圖．

求證：sinB＝．

證明：連結(jié)AO并延長(zhǎng)與BC相交．

∵　⊙O內(nèi)切于梯形EBCF，AB、AC是⊙O的切線，

∴　∠BAO＝∠CAO，

∵　EF∥BC，AB＝AC，

∴　AE＝AF．

又∵M、N為切點(diǎn)，

∴　OM⊥EF，ON⊥BC．

∴　AO⊥EF于M，AO⊥BC于N．

∵　EF∥BC，

∴　EM∥BN．

∴　△AEM∽△ABN，

∴　，

設(shè)EM＝k，則BN＝nk．

作EH∥MN交BC于H，則HN＝EM＝k．

∵　D、N、M為切點(diǎn)，

∴　BD＝BN＝nk，ED＝EM＝k．

在△EHB中，∠EHB＝∠MNB＝90°，

BE＝BD＋DE＝(n＋1)k，

BH＝BN-HN＝(n-1)k．

由勾股定理，得EH＝2·k．

∴sinB＝．