Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為原點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，A、B、C的坐標(biāo)分別是A（-5，1），B（-2，4），C（5，4），點(diǎn)D在第一象限．
（1）寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn)的直線的解析式，并求線段BD的長(zhǎng)；
（3）將平行四邊形ABCD先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的四邊形A₁B₁C₁D₁四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？并求出平行四邊形ABCD與四邊形A₁B₁C₁D₁重疊部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題,待定系數(shù)法

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求出BC的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等列式求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，然后寫(xiě)出D點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于E，求出BE、DE的長(zhǎng)，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向下平移縱坐標(biāo)減求出A₁、B₁、C₁、D₁的坐標(biāo)，然后求出重疊部分平行四邊形的底邊和高，再根據(jù)平行四邊形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵B（-2，4），C（5，4），
∴BC=5-（-2）=5+2=7，
∵A（-5，1），
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5+7=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）；

（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
將B（-2，4）、D（2，1）代入得：

-2k+b=4 2k+b=1

，
解得

k=- 3 4 b= 5 2

，
∴經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn)的直線的解析式為y=-

3

4

x+

5

2

，
過(guò)B點(diǎn)作AD的垂線，垂足為E，則BE=4-1=3，
DE=2-（-2）=2+2=4，
在Rt△BDE中，BD=

BE2+DE2

=

32+42

=5；

（3）∵?ABCD向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴A₁（-4，0），B₁（-1，3），C₁（6，3）D₁（3，0），
∴重疊部分的底邊長(zhǎng)7-1=6，
高為3-1=2，
∴重疊部分的面積S=6×2=12．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于（3）判斷出重疊部分是平行四邊形并且求出底邊和高的長(zhǎng)度．