Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x2+

3

2

x+2與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC．
（1）求點A、B、C的坐標．
（2）點P為AB上的動點（點A、O、B除外），過點P作直線PN⊥x軸，交拋物線于點N，交直線BC于點M．設點P到原點的值為t，MN的長度為s，求s與t的函數(shù)關系式．
（3）在（2）的條件下，試求出在點P運動的過程中，由點O、P、N圍成的三角形與Rt△COB相似時點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）分別令y=0、x=0即可以求出A、B、C的坐標，
（2）應分為點P在y軸的左側和點P在y軸的右側兩種情況，分別求s與t的函數(shù)關系式，MN的長就是M、N兩點縱坐標的差，
（3）在沒有確定對應關系的情況下，兩三角形相似應分兩種情況討論解決．

解答：解：（1）∵點A、B、C在二次函數(shù)圖象上
∴把x=0代入y=-

1

2

x2+

3

2

x+2，得y=2
把y=0代入y=-

1

2

x2+

3

2

x+2，得x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2）；
（2）設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
把B（4，0），C（0，2）代入，得

4k+b=0 b=2

，

k=- 1 2 b=2

∴直線BC的解析式為y=-

1

2

x+2
∵OP=t
∴P（t，0），M（t，-

1

2

t+2），N（t，-

1

2

t²+

3

2

t+2），
如圖，

∴S₁=N₁P₁-M₁P₁=-

1

2

t²+

3

2

t+2-（-

1

2

t+2）=-

1

2

t²+2t（0＜t＜4），
S₂=M₂P₂-N₂P₂=-

1

2

t+2-（-

1

2

t²+

3

2

t+2）=

1

2

t²-2t（-1＜t＜0），
（3）如圖，

①若△OPN∽△OCB，當OP與OC是對應邊時，則

OP

OC

=

NP

BO

，即

t

2

=

- 1 2 t2+ 3 2 t+2

4

化簡得：t²+t-4=0，
解得：t1=

-1+ 17

2

，t2=

-1- 17

2

（不合題意，舍去）
②若△OPN∽△OBC，當OP與OB是對應邊時，則

OP

OB

=

PN

CO

，即

t

4

=

- 1 2 t2+ 3 2 t+2

2

化簡得：t²-2t-4=0
解得：t₃=1+

5

，t₄=1-

5

（不合題意，舍去）
∴符合題意的點P的坐標為（

-1+ 17

2

，0）和（1+

5

，0）．

關鍵詞：二次函數(shù)與一元二次方程、相似三角形、二次函數(shù)的應用、數(shù)形結合思想、分類討論思想．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)與一元二次方程、相似三角形、二次函數(shù)的應用等知識，解題的關鍵是數(shù)形結合思想、分類討論思想．