Question

如圖，直線y=

3

4

x-3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，P是從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AO運(yùn)動(dòng)的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=t．
（1）在圖中畫出△PCA關(guān)于直線PC對(duì)稱的圖形△PCD；
（2）t為何值時(shí)，點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合？
（3）設(shè)△PCD與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意，正確的畫圖即可，
（2）根據(jù)圖1，先求出AB，再由△PCA∽△BOA，利用相似比求出CA，列方程即可得出t．
（3）分三種情況①當(dāng)0＜t≤

25

8

時(shí)②

25

8

＜t≤4時(shí)③當(dāng)4＜t＜

25

4

時(shí)分別求解S與t的函數(shù)關(guān)系式即可．

解答：解：（1）正確畫出圖形
△PCD即為畫出的△PCA關(guān)于直線PC對(duì)稱的圖形，



（2）如圖1，由y=

3

4

x-3知，當(dāng)x=0時(shí)，y=-3；當(dāng)y=0時(shí)，x=4，

∴OA=3，OB=4，AB=5，
∵∠PCA=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，
∴△PCA∽△BOA
∴

PC

BO

=

PA

BA

=

CA

OA

，即

PC

3

=

t

5

=

CA

4

．
∴PC=

3t

5

，CA=

4t

5

，
當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，BC+CA=AB，即

4t

5

+

4t

5

=5．
∴t=

25

8

．
（3）①當(dāng)0＜t≤

25

8

時(shí)，如圖2，

S=

1

2

PC•CD=

1

2

•

3t

5

•

4t

5

=

6

25

t2．
②當(dāng)

25

8

＜t≤4時(shí)，如圖3，設(shè)PD與y軸相交于點(diǎn)M，

作MN⊥CD，垂足為N．
由（2）知BD=AC+CD-AB=

4t

5

+

4t

5

-5=

8t

5

-5．
∵∠BNM=∠BOA，∠MBN=∠ABO，
∴△BMN∽△BAO．
∴

BN

BO

=

MN

AO

，即MN=

4

3

BN=

4

3

（DN-BD）．
在Rt△DMN中，
tan∠MDN=tan∠OAB=

MN

DN

=

PC

AC

=

3

4

∴DN=

4

3

MN
∴MN=

4

3

（

4

3

MN-BD）
∴MN=

12

7

BD=

12

7

（

8t

5

-5）
∴S=S_△PCD-S_△BDM=

1

2

PC•CD-

1

2

BD•MN
=

6

25

t2-

1

2

（

8t

5

-5）

12

7

（

8t

5

-5）
=

342

175

t2+

96

7

t-

150

7

．
③當(dāng)4＜t＜

25

4

時(shí)，如圖4，

設(shè)PC與y軸相交于點(diǎn)E．則BC=AB-AC=5-

4

5

t同理EC=

4

3

BC=

4

3

（5-

4

5

t）
∴S=

1

2

BC•EC=

1

2

（5-

4

5

t）

4

3

（5-

4

5

t）
=

32

75

t2-

16

3

t+

50

3

．
綜上，S=

6

25

t2（當(dāng)0＜t≤

25

8

）；S=

342

175

t2+

96

7

t-

150

7

（

25

8

＜t≤4）；S=

32

75

t2-

16

3

t+

50

3

（4＜t＜

25

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想．