Question

如圖，拋物線(xiàn)與x軸交與A（1,0）,B（- 3，0）兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線(xiàn)交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最��？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在（1）中的拋物線(xiàn)上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值．若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）拋物線(xiàn)解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）存在，Q（-1，2）；

（3）存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為（-，），S△BPC最大=；

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式即可；

（2）由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=-1對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)BC與x=-1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)△QAC的周長(zhǎng)最小，首先求出直線(xiàn)BC的解析式，進(jìn)而得出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可．

（3）存在，設(shè)得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將△BCP的面積表示成二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的方法即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

試題解析：（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得

，

∴解得：，

∴拋物線(xiàn)解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）存在，

由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=-1對(duì)稱(chēng)，

∴直線(xiàn)BC與x=-1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)△AQC周長(zhǎng)最小

∵y=-x2-2x+3，

∵C的坐標(biāo)為：（0，3），B（-3，0），設(shè)直線(xiàn)BC解析式為：y=kx+d，

∴，

解得：，

∴直線(xiàn)BC解析式為：y=x+3；

Q點(diǎn)坐標(biāo)即為的解，

∴，

∴Q（-1，2）；

存在，如下圖：

設(shè)P點(diǎn)（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0）

∵S△BPC=S四邊形BPCO-S△BOC=S四邊形BPCO-，

若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大，

∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OE（PE+OC）=（x+3）（-x2-2x+3）+（-x）（-x2-2x+3+3）

=（x+）2+，

當(dāng)x=-時(shí)，S四邊形BPCO最大值=，

∴S△BPC最大=-＝，

當(dāng)x=-時(shí)，-x2-2x+3=，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-，）

考點(diǎn)：1、待定系數(shù)法；2、線(xiàn)段的性質(zhì)；3、二次函數(shù)的性質(zhì)

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說(shuō)自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，b和c可以是任意實(shí)數(shù)，a是不等于0的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=0時(shí)，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)二次函數(shù)就是一個(gè)一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點(diǎn)式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根x₁和x₂存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的二次三項(xiàng)式；
當(dāng)b=0，c=0時(shí)，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理（去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)）后，能寫(xiě)成（a≠0）的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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