Question

已知，如圖，四邊形ABCD是菱形，∠B是銳角，AF⊥BC于點F，CH⊥AD于點H，在AB邊上取點E，使得AE=AH，在CD邊上取點G，使得CG=CF，連接EF、FG、GH、HE．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）當∠B為多少度時，四邊形EFGH是正方形？并證明．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),矩形的判定,正方形的判定

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)BD，F(xiàn)H，可證得四邊形AFCH為矩形，再證明△AEH∽△ABD，可得四邊形EFGH是平行四邊形，因為EH⊥EF，所以四邊形EFGH是矩形；
（2）當∠B等于45度時，四邊形EFGH是正方形，根據(jù)正方形的判定方法證明即可．

解答：（1）如圖，連結(jié)BD，F(xiàn)H，可證得四邊形AFCH為矩形，
∴AH=CF=AE=CG，
∵AE：AB=AH：AD，
∴△AEH∽△ABD，
∴∠AEH=∠ABD，EH：BD=AE：AB，
∴EH∥BD，
同理FG∥BD，F(xiàn)G：BD=DF：CB，
∴EH∥FG，EH：BD=FG：BD，
∴EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵BE=BF，∠EBD=∠FBD，
∴BD⊥EF，
∴EH⊥EF，
∴?EFGH是矩形；
（2）當∠B等于45度時，四邊形EFGH是正方形，
理由如下：
在正方形EFGH中，∠EHF=45°，
∵∠FEH=∠FAH=90°，
∴AEFH四點共圓，
∴∠EAF=∠EHF=45°，
∴∠ABC=45°．
∴∠B等于45度時，四邊形EFGH是正方形．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定方法，題目的綜合性較強，難度不小，對學生的解題能力要求很高．