【題目】已知△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分線,且 AD=AB,過點(diǎn) C 作 AD 的垂線,交 AD 的延長線于點(diǎn) H.
(1)如圖 1,若∠BAC=60°.
①直接寫出∠B 和∠ACB 的度數(shù);
②若 AB=2,求 AC 和 AH 的長;
(2)如圖 2,用等式表示線段 AH 與 AB+AC 之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1)①45°,②;(2)線段 AH 與 AB+AC 之間的數(shù)量關(guān)系:2AH=AB+AC.證明見解析.
【解析】
(1)①先根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD=30°,由等腰三角形的性質(zhì)得∠B=75°,最后利用三角形內(nèi)角和可得∠ACB=45°;②如圖 1,作高線 DE,在 Rt△ADE 中,由∠DAC=30°,AB=AD=2 可得 DE=1,AE=, 在 Rt△CDE 中,由∠ACD=45°,DE=1,可得 EC=1,AC= +1,同理可得 AH 的長;(2)如圖 2,延長 AB 和 CH 交于點(diǎn) F,取 BF 的中點(diǎn) G,連接 GH,易證△ACH≌△AFH,則 AC=AF,HC=HF, 根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得AG=AH,再由線段的和可得結(jié)論.
(1)①∵AD 平分∠BAC,∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∵AB=AD,
∴∠B==75°,
∴∠ACB=180°﹣60°﹣75°=45°;
②如圖 1,過 D 作 DE⊥AC 交 AC 于點(diǎn) E,
在 Rt△ADE 中,∵∠DAC=30°,AB=AD=2,
∴DE=1,AE=,
在 Rt△CDE 中,∵∠ACD=45°,DE=1,
∴EC=1,
∴AC=+1,
在 Rt△ACH 中,∵∠DAC=30°,
∴CH=AC=
∴AH===;
(2)線段 AH 與 AB+AC 之間的數(shù)量關(guān)系:2AH=AB+AC.
證明:如圖 2,延長 AB 和 CH 交于點(diǎn) F,取 BF 的中點(diǎn) G,連接 GH.
易證△ACH≌△AFH,
∴AC=AF,HC=HF,
∴GH∥BC,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠AGH=∠AHG,
∴AG=AH,
∴AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.
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【題目】某中學(xué)計(jì)劃為學(xué)校科技活動(dòng)小組購買型、型兩種型號(hào)的放大鏡.若購買8個(gè)型放大鏡和5個(gè)型放大鏡需用235元,購買4個(gè)型放大鏡和6個(gè)型放大鏡需用170元.
(1)求每個(gè)型放大鏡和每個(gè)型故大鏡各多少元?
(2)該中學(xué)決定購買型放大鏡和型放大鏡共75個(gè),總費(fèi)用不超過1300元,那么最多可以購買多少個(gè)型放大鏡?
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【題目】某天,小王去朋友家借書,在朋友家停留一段時(shí)間后,返回家中,如圖是他離家的路程(千米)與時(shí)間(分)的關(guān)系的圖象,根據(jù)圖象信息,下列說法正確的是( )
A. 小王去時(shí)的速度大于回家的速度B. 小王在朋友家停留了10分鐘
C. 小王去時(shí)所花時(shí)間少于回家所花時(shí)間D. 小王去時(shí)走上坡路施,回家時(shí)走下坡路
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【題目】如圖,△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) D,交 CA 的延長線于點(diǎn) E,∠EBC=42°,則 ∠BAC=( )
A. 159° B. 154° C. 152° D. 138°
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【題目】如圖,AD為等邊△ABC的高,E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn),且AE=CF,當(dāng)BF+CE取得最小值時(shí),∠AFB=( 。
A. 112.5°B. 105°C. 90°D. 82.5°
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分別寫出選擇優(yōu)惠卡、普通票消費(fèi)時(shí),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
在同一坐標(biāo)系中,若兩種消費(fèi)方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示,請(qǐng)求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
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【題目】如圖,已知△BAD≌△BCE,∠BAD=∠BCE=90°,∠ABD=∠BEC=30°,點(diǎn) M 為 DE的中點(diǎn),過點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn) N.
(1)如 圖 1,當(dāng) A、B、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí),
①求證:△MEN≌△MDA;
②判斷 AC與 CN數(shù)量關(guān)系為_______,并說明理由.
(2)將圖 1 中△BCE繞 點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,旋轉(zhuǎn)過程中△CAN 能否為等腰直角三角形?若能,直接寫出旋轉(zhuǎn)角度;若不能,說明理由.
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【題目】已知點(diǎn)D、E分別是∠B的兩邊BC、BA上的點(diǎn),∠DEB=2∠B,F為BA上一點(diǎn).
(1)如圖①,若DF平分∠BDE,求證:BD=DE+EF;
(2)如圖②,若DF為△DBE的外角平分線,BD、DE、EF三者有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于C(0,﹣3)點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP′C為菱形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABPC的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
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