【題目】如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC+∠EAD=180°,△ABC不動,△ADE繞點A旋轉(zhuǎn),連接BE,CD,F(xiàn)為BE的中點,連接AF.
(1)如圖①,當(dāng)∠BAE=90°時,求證:CD=2AF;
(2)當(dāng)∠BAE≠90°時,(1)的結(jié)論是否成立?請結(jié)合圖②說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)當(dāng)∠BAE≠90°時,(1)的結(jié)論仍成立,理由見解析.
【解析】
(1)因為AF是直角三角形ABE的中線,所以BE=2AF,然后通過△ABE≌△ACD即可求得.
(2)延長EA交BC于G,在AG上截取AH=AD,證出△ABH≌△ACD從而證得BH=CD,然后根據(jù)三角形的中位線等于底邊的一半,求得BH=2AF,即可求得.
(1)如圖①.
∵∠BAC+∠EAD=180°,∠BAE=90°,∴∠DAC=90°.
在△ABE與△ACD中,
∵,
∴△ABE≌△ACD(SAS),∴CD=BE.
∵在Rt△ABE中,F為BE的中點,∴BE=2AF,∴CD=2AF.
(2)成立.理由如下:
如圖②,延長EA交BC于G,在AG上截取AH=AD.
∵∠BAC+∠EAD=180°,∴∠EAB+∠DAC=180°.
∵∠EAB+∠BAH=180°,∴∠DAC=∠BAH.
在△ABH與△ACD中,∵,
∴△ABH≌△ACD(SAS),
∴BH=DC.
∵AD=AE,AH=AD,∴AE=AH.
∵EF=FB,∴BH=2AF,∴CD=2AF.
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【題目】纜車,不僅提高了景點接待游客的能力,而且解決了登山困難者的難題.如圖,當(dāng)纜車經(jīng)過點A到達(dá)點B時,它走過了700米.由B到達(dá)山頂D時,它又走過了700米.已知線路AB與水平線的夾角為16°,線路BD與水平線的夾角β為20°,點A的海拔是126米.求山頂D的海拔高度(畫出設(shè)計圖,寫出解題思路即可).
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【題目】閱讀下面材料:
在數(shù)學(xué)課上,老師提出利用尺規(guī)作圖完成下面問題:
已知:△OAB.
求作:⊙O,使⊙O與△OAB的邊AB相切.
小明的作法如下:
如圖,①取線段OB的中點M;以M為圓心,MO為半徑作⊙M,與邊AB交于點C;
②以O為圓心,OC為半徑作⊙O;
所以,⊙O就是所求作的圓.
請回答:這樣做的依據(jù)是__________________________________________________.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,點E是BC邊上一動點,聯(lián)結(jié)AE,過點E作AE的垂線交直線CD于點F.已知AD=4cm,CD=2cm,BC=5cm,設(shè)BE的長為x cm,CF的長為y cm.
小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行探究.下面是小東的探究過程,請補充完整:
(1)通過取點、畫圖、測量,得到了x與y的幾組值,如下表:
(說明:補全表格時相關(guān)數(shù)據(jù)保留一位小數(shù))
(2)建立直角坐標(biāo)系,描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題: 當(dāng)BE=CF時,BE的長度約為 cm.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P的橫坐標(biāo)為x,縱坐標(biāo)為2x,滿足這樣條件的點稱為“關(guān)系點”.
(1)在點A(1,2)、B(2,1)、M(,1)、N(1, )中,是“關(guān)系點”的為 ;
(2)⊙O的半徑為1,若在⊙O上存在“關(guān)系點”P,求點P坐標(biāo);
(3)點C的坐標(biāo)為(3,0),若在⊙C上有且只有一個“關(guān)系點”P,且“關(guān)系點”P的橫坐標(biāo)滿足-2≤x≤2.請直接寫出⊙C的半徑r的取值范圍.
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【題目】如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,點、、都是格點.
(1)將向左平移6個單位長度得到;
(2)將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到,請畫出;
(3)若點的坐標(biāo)為(3,3);寫出與的對稱中心的坐標(biāo)_____.
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【題目】(問題情境)
課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:
(1)如圖①,中,,若,點是斜邊上一動點,求線段的最小值.
在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:
根據(jù)直線外一點和直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短,得到:
當(dāng)時,線段取得最小值.請你根據(jù)小明的思路求出這個最小值.
(思維運用)
(2)如圖,在中,,,為斜邊上一動點,過作于點,過作于點,求線段的最小值.
(問題拓展)
(3)如圖,,線段上的一個動點,分別以為邊在的同側(cè)作菱形和菱形,點在一條直線上.,分別是對角線的中點,當(dāng)點在線段上移動時,點之間的距離的最小值為_____.(直接寫出結(jié)果,不需要寫過程)
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【題目】若將一幅三角板按如圖所示的方式放置,則下列結(jié)論中不正確的是( )
A. ∠1=∠3 B. 如果∠2=30°,則有AC∥DE
C. 如果∠2=30°,則有BC∥AD D. 如果∠2=30°,必有∠4=∠C
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,E是□ABCD的邊BC延長線上一點,AE交CD于點F,FG∥AD交AB于點G.
(1)填空:圖中與△CEF相似的三角形有__________;(寫出圖中與△CEF相似的所有三角形)
(2)從(1)中選出一個三角形,并證明它與△CEF相似.
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