Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+n交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，其坐標(biāo)為（-3，0），拋物線y=ax²+bx+5經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，過點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)DE=2PD時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q（m，7-m）在坐標(biāo)平面內(nèi)，連接QE、QP，且QE=

10

PQ，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-公式法,勾股定理,平行線分線段成比例

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)條件易求得點(diǎn)C、點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EN∥x軸，交DG于點(diǎn)M，交PH于點(diǎn)N，如圖1，則有OC∥DG∥PH，根據(jù)平行線分線段成比例可得

OG

GH

=

ED

DP

=2，設(shè)GH=a，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3a，5-a），然后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)Q作QS⊥y軸于點(diǎn)S，過點(diǎn)P作SQ的垂線，垂足為T，如圖2，根據(jù)條件“QE=

10

PQ”運(yùn)用勾股定理就可求出m的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+5交y軸于點(diǎn)C，
∴C（0，5）．
∵點(diǎn)C在直線y=-x+n上，
∴n=5，
∵直線y=-x+5交x軸于點(diǎn)B，
∴B（5，0）．
∵點(diǎn)A（-3，0），B（5，0）在拋物線y=ax²+bx+5上，
∴

0=9a-3b+5 0=25a+5b+5

，
解得：

a=- 1 3 b= 2 3

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

3

x²+

2

3

x+5．

（2）過點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，
過點(diǎn)E作EN∥x軸，交DG于點(diǎn)M，交PH于點(diǎn)N，如圖1，
則有OE=MG=NH，∠CEN=∠DME=∠PNE=90°．
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∵PD⊥BC，
∴∠CED=45°，
∴∠DEN=∠MDE=∠NPE=45°，
∴EM=DM，EN=PN．
∵OC⊥x軸，DG⊥x軸，PH⊥x軸，
∴OC∥DG∥PH，
∴

OG

GH

=

ED

DP

=2，
設(shè)GH=a，則OG=2a，OH=3a，
∴DG=5-OG=5-2a，
∴MG=DG-DM=DG-EM=5-2a-2a=5-4a，
∴PH=PN+NH=EN+MG=OH+MG=3a+5-4a=5-a，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3a，5-a）．
∵點(diǎn)P在拋物線y=-

1

3

x²+

2

3

x+5上，
∴5-a=-

1

3

（3a）²+

2

3

•3a+5，
解得：a₁=0，a₂=1．
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）．

（3）過點(diǎn)Q作QS⊥y軸于點(diǎn)S，過點(diǎn)P作SQ的垂線，垂足為T，如圖2．
在（2）的條件下，OE=MG=5-4a=1，P（3，4），
∵Q（m，7-m），
∴根據(jù)勾股定理可得：
QE²=QS²+SE²=m²+（7-m-1）²=2m²-12m+36，
QP²=QT²+PT²=（3-m）²+（7-m-4）²=2m²-12m+18．
∵QE=

10

PQ，
∴QE²=10PQ²，
∴2m²-12m+36=10（2m²-12m+18），
整理得：m²-6m+8=0，
解得m₁=2，m₂=4．
∴m的值為2或4．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、平行線分線段成比例、解一元二次方程、勾股定理等知識，運(yùn)用平行線分線段成比例是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用勾股定理是解決第（3）小題的關(guān)鍵．