Question

如圖，拋物線y=ax²+2ax+4與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，tan∠CBO=2，動直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，與直線AB重合時終止運(yùn)動，直線l與BC交于點(diǎn)D，P是線段AD的中點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）①直接寫出點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長；
    ②若點(diǎn)Q在直線AC上方的拋物線上，且四邊形PDCQ是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D與B、C不重合時，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥AB于點(diǎn)F，連結(jié)EF，求EF的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）①根據(jù)已知可得點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長，正好是△ABC的中位線長，進(jìn)而求出即可；
②首先求出BC的解析式進(jìn)而求出QH的解析式，再將二次函數(shù)與直線QH相結(jié)合進(jìn)而求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）利用已知得出PE=PF，∠EPF=2∠EAF=90°，要使EF最小，只要使PE最小，要使PE最小，只要使AD最小，即AD⊥BC時AD最小，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時，y=4，
∴C（0，4），OC=4
∵tan∠CBO=2，∴OB=2，B（2，0），
代入解析式解得：0=a×2²+2a×2+4，
解得：a=-

1

2

，
故拋物線解析式為：y=-

1

2

x2-x+4；

（2）①∵CO=4，BO=2，
∴BC=2

5

，
∵直線l與BC交于點(diǎn)D，P是線段AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長，正好是△ABC的中位線長，
∴點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長為：

5

；

②如圖1，∵四邊形PDCQ是平行四邊形，
∴QH∥BC，
∵P是線段AD的中點(diǎn)，
∴H是線段AB的中點(diǎn)，
∵-

1

2

x²-x+4=0
解得：x₁=2，x₂=-4，
∴A（-4，0），
∴H（-1，0），
設(shè)BC的解析式為：y=kx+d，
則

d=4 2k+d=0

，
解得：

k=-2 d=4

，
∴直線BC的解析式為：y=-2x+4，
設(shè)QH的解析式為y=-2x+b，
把H點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 b=-2，
故

y=- 1 2 x2-x+4 y=-2x-2

解得x=1±

13

∵點(diǎn)Q在直線AC上方的拋物線上，
∴

x=1- 13 y=2 13 -4

，
∴Q(1-

13

，2

13

-4)；

（3）如圖2，∵DE⊥AC
∴∠AED=90°，∵P是線段AD的中點(diǎn)，
∴PE=PA=

1

2

AD，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠EPD=2∠EAF，
同理PF=

1

2

AD，∠DPF=2∠PAF，
∴PE=PF，∠EPF=2∠EAF=90°
∴要使EF最小，只要使PE最小
要使PE最小，只要使AD最小，
即AD⊥BC時，AD最小，
則AD×2

5

=6×4，
解得：AD=

12 5

5

，
故PE=

6

5

5

，
則FE_最小==

6

5

5

×

2

=

6

5

10

．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及勾股定理等知識，得出要使PE最小，只要使AD最小，當(dāng)AD⊥BC時，AD最小進(jìn)而求出是解題關(guān)鍵．