Question

在Rt△ABC中，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，P為AC邊一動(dòng)點(diǎn)，△BDP沿著PD所在的直線對(duì)折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．

（1）若BC=5，AC=12，PD⊥AB，求AP的長；

（2）當(dāng)AD=PE時(shí)，求證：四邊形BDEP為菱形；

（3）若BC=5，∠A=30°，P點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，在這個(gè)過程中，求E點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

【考點(diǎn)】四邊形綜合題．

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)相似三角形的判定定理證明△ADP∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計(jì)算即可；

（2）根據(jù)四條邊相等的四邊形是菱形證明即可；

（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平角的定義求出P點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓心角，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．

【解答】（1）解：∵∠C=90°，BC=5，AC=12，

∴AB==13，

∵PD⊥AB，∠C=90°，

∴△ADP∽△ACB，

∴=，即=，

解得，AP=；

（2）證明：由翻折變換的性質(zhì)可知，PB=PE，DB=DE，

∵AD=PE，BD=AD，

∴BP=PE=ED=DB，

∴四邊形BDEP為菱形；

（3）∵BC=5，∠A=30°，

∴AB=2BC=10，

∴DE=BD=AB=5，

當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，△BPD是等邊三角形，

∴∠BDP=60°，

∴∠EDP=60°，

∴∠EDA=60°，

當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，∠EDA=180°，

∴P點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓心角為60°+180°=240°，

=，

∴E點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是菱形的判定、弧長的計(jì)算、翻折變換的性質(zhì)，掌握四條邊相等的四邊形是菱形、弧長的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．