【題目】如圖①,在ABCD中,AB=10cm,BC=4cm,∠BCD=120°,CE平分∠BCD交AB于點E.點P從A點出發(fā),沿AB方向以1cm/s的速度運動,連接CP,將△PCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,使CE與CB重合,得到△QCB,連接PQ.
(1)求證:△PCQ是等邊三角形;
(2)如圖②,當點P在線段EB上運動時,△PBQ的周長是否存在最小值?若存在,求
出△PBQ周長的最小值;若不存在,請說明理由;
(3)如圖③,當點P在射線AM上運動時,是否存在以點P、B、Q為頂點的直角三角形?
若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
(1) (2)
(3)
【答案】(1)證明見解析;(2)存在,理由見解析;(3)t為2s或者14s.
【解析】分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),證明△PCE≌△QCB,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定證明即可;
(2)利用平行四邊形的性質(zhì)證得△BCE為等邊三角形,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到△PBQ的周長為4+CP,然后垂線段最短可由直角三角形的性質(zhì)求解即可;
(3)根據(jù)點的移動的距離,分類討論求解即可.
詳解:(1)∵旋轉(zhuǎn)
∴△PCE≌△QCB
∴CP=CQ,∠PCE =∠QCB,
∵∠BCD=120°,CE平分∠BCD,
∴∠PCQ=60°,
∴∠PCE +∠QCE=∠QCB+∠QCE=60°,
∴△PCQ為等邊三角形.
(2)存在
∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=,
∵在平行四邊形ABCD 中,
∴AB∥CD
∴∠ABC=180°﹣120°=60°
∴△BCE為等邊三角形
∴BE=CB=4
∵旋轉(zhuǎn)
∴△PCE≌△QCB
∴EP=BQ,
∴C△PBQ=PB+BQ+PQ
=PB+EP+PQ
=BE+PQ
=4+CP
∴CP⊥AB時,△PBQ周長最小
當CP⊥AB時,CP=BCsin60°=
∴△PBQ周長最小為4+
(3)①當點B與點P重合時,P,B,Q不能構(gòu)成三角形
②當0≤t<6時,由旋轉(zhuǎn)可知,
∠CPE=∠CQB,
∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=60°
則:∠BPQ+∠CQB=60°,
又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ=180°
∴∠CBQ=180°—60°—60°=60°
∴∠QBP=60°,∠BPQ<60°,
所以∠PQB可能為直角
由(1)知,△PCQ為等邊三角形,
∴∠PBQ=60°,∠CQB=30°
∵∠CQB=∠CPB
∴∠CPB=30°
∵∠CEB=60°,
∴∠ACP=∠APC=30°
∴PA=CA=4,
所以AP=AE-EP=6-4=2
所以t=2s
③當6<t<10時,由∠PBQ=120°>90°,所以不存在
④當t>10時,由旋轉(zhuǎn)得:∠PBQ=60°,由(1)得∠CPQ=60°
∴∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=60°+∠BPC,
而∠BPC>0°,
∴∠BPQ>60°
∴∠BPQ=90°,從而∠BCP=30°,
∴BP=BC=4
所以AP=14cm
所以t=14s
綜上所述:t為2s或者14s時,符合題意。
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為H,連結(jié)AC,過上一點E作EG∥AC交CD的延長線于點G,連結(jié)AE交CD于點F,且EG=FG,連結(jié)CE.
(1)求證:△ECF∽△GCE;
(2)求證:EG是⊙O的切線;
(3)延長AB交GE的延長線于點M,若tanG=,AH=3,求EM的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E為CD上一點,將△BCE沿BE翻折后點C恰好落在AD邊上的點F處,將線段EF繞點F旋轉(zhuǎn),使點E落在BE上的點G處,連接CG.
(1)證明:四邊形CEFG是菱形;
(2)若AB=8,BC=10,求四邊形CEFG的面積;
(3)試探究當線段AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時,BG=CG,請寫出你的探究過程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場服裝部為了調(diào)動營業(yè)員的積極性,決定實行目標管理,根據(jù)目標完成的情況對營業(yè)員進行適當?shù)莫剟睿疄榱舜_定一個適當?shù)脑落N售目標,商場服裝部統(tǒng)計了每位營業(yè)員在某月的銷售額(單位:萬元),數(shù)據(jù)如下:
17 | 18 | 16 | 13 | 24 | 15 | 28 | 26 | 18 | 19 |
22 | 17 | 16 | 19 | 32 | 30 | 16 | 14 | 15 | 26 |
15 | 32 | 23 | 17 | 15 | 15 | 28 | 28 | 16 | 19 |
對這30個數(shù)據(jù)按組距3進行分組,并整理、描述和分析如下.
頻數(shù)分布表
組別 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 |
銷售額 | |||||||
頻數(shù) | 7 | 9 | 3 | 2 | 2 |
數(shù)據(jù)分析表
平均數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) |
20.3 | 18 |
請根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)填空:a= ,b= ,c= ;
(2)若將月銷售額不低于25萬元確定為銷售目標,則有 位營業(yè)員獲得獎勵;
(3)若想讓一半左右的營業(yè)員都能達到銷售目標,你認為月銷售額定為多少合適?說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計算與化簡
(1)計算:(6m2+4m﹣3)+2(2m2﹣4m+1);
(2)先化簡,再求值.4xy﹣[(x2+5xy﹣y2)﹣2(x2+3xy﹣y2)],其中:x=﹣1,y=2.
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【題目】如圖,在一個長方形操場的四角都設(shè)計一塊半徑相同的四分之一圓形的花壇,若圓形的半徑為r米,廣場的長為a米,寬為b米.
(1)請列式表示操場空地的面積;
(2)若休閑廣場的長為 50米,寬為20米,圓形花壇的半徑為 3米,求操場空地的面積.(π取 3.14,計算結(jié)果保留 0.1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,雙曲線經(jīng)過四邊形OABC的頂點A、C,∠ABC=90°,OC平分OA與x軸正半軸的夾角,AB∥x軸,將△ABC沿AC翻折后得到△AB'C,B'點落在OA上,則四邊形OABC的面積是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小東設(shè)計的“作平行四邊形,使,,”的作圖過程.
作法:如圖,①作;
②在的兩邊上分別截取,;
③以點為圓心,長為半徑畫弧,以點為圓心,長為半徑畫弧,兩弧相交于點;
④連接,.
則四邊形為所求作的平行四邊形.
根據(jù)小東設(shè)計的作圖過程:
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明: ______,______,
四邊形是平行四邊形.(______)(填推理的依據(jù)).
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【題目】小明想利用太陽光測量樓高,他帶著皮尺來到一棟樓下,發(fā)現(xiàn)對面墻上有這棟樓的影子,針對這種情況,他設(shè)計了一種測量方案,具體測量情況如下:如示意圖,小明邊移動邊觀察,發(fā)現(xiàn)站到點E處時,可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊,且高度恰好相同.此時,測得小明落在墻上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m(點A、E、C在同一直線上).已知小明的身高EF是1.7m,請你幫小明求出樓高AB(結(jié)果精確到0.1m).
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