Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若△ABC是邊長為4的等邊三角形，AC，DE相交于點(diǎn)O，在CE上截取CF=CO，連接OF，求線段FC的長及四邊形AOFE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形判定得出平行四邊形，再根據(jù)矩形判定推出即可；
（2）分別求出AE、OH、CE、CF的長，再求出三角形AEC和三角形COF的面積，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵CE∥AD且CE=AD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC（等腰三角形三線合一性質(zhì)），
∴∠ADC=90°，
∴四邊形ADCE是矩形；

（2）解：∵△ABC是等邊三角形，邊長為4，
∴AC=4，∠DAC=30°，
∴∠ACE=30°，AE=2，CE=2

3

，
∵四邊形ADCE為矩形，
∴OC=OA=2，
∵CF=CO，
∴CF=2，
過O作OH⊥CE于H，
∴OH=

1

2

OC=1，
∴S_{四邊形AOFE}=S_△AEC-S_△COF=

1

2

×2×2

3

-

1

2

×2×1=2

3

-1．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)的應(yīng)用，題目是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，難度適中．