Question

如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的圓O上一點(diǎn)，直線AC與過點(diǎn)B的切線相交于點(diǎn)D，D點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，直線CE交直線AB與點(diǎn)．求證：
（1）CF是⊙O的切線；
（2）若ED=

3

2

，tanF=

3

4

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）連CB、OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ABD=90°，根據(jù)圓周角定理由AB是直徑得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CE=BE，所以∠BCE=∠CBE，所以∴OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得CF是⊙O的切線；
（2）CE=BE=DE=

3

2

，在Rt△BFE中，利用正切的定義得tanF=

BE

BF

=

3

4

，可計(jì)算出BF=2，再利用勾股定理可計(jì)算出EF=

5

2

，所以CF=CE+EF=4，然后在Rt△OCF中，利用正切定義可計(jì)算出OC．

解答：（1）證明：連CB、OC，如圖，
∵BD為⊙O的切線，
∴DB⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∵E為BD的中點(diǎn)，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠CBE，
而∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切線；
（2）解：CE=BE=DE=

3

2

，
在Rt△BFE中，tanF=

BE

BF

=

3

4

，
∴BF=2，
∴EF=

BE2+BF2

=

5

2

，
∴CF=CE+EF=4，
在Rt△OCF中，tanF=

OC

CF

=

3

4

，
∴OC=3，
即⊙O的半徑為3．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理、圓周角定理．