Question

如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與雙曲線y=

a

x

（a≠0，x＞0）分別交于C（4，1）、D（1，4）兩點．
（1）分別求直線l和雙曲線的解析式；
（2）若將直線l向下平移m（m＞0）個單位，當(dāng)m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）設(shè)直線l的解析式是y=kx+b，把C（4，1）、D（1，4）兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，即可求出答案；
（2）設(shè)直線l平移后的解析式為y=-x+5-m，組成方程組

y=-x+5-m y= 4 x

，整理得出方程-x²+（5-m）x-4=0，得出△=（5-m）²-4×（-1）×（-4）=0，求出即可．

解答：解：（1）設(shè)直線l的解析式是y=kx+b，
∵直線l和反比例函數(shù)y=

a

x

交于C（4，1）、D（1，4）兩點，
∴a=4，

4k+b=1 k+b=4

，
解得：k=-1，b=5．
∴直線l的解析式為y=-x+5，雙曲線的解析式是y=

4

x

；

（2）設(shè)直線l平移后的解析式為y=-x+5-m，
則

y=-x+5-m y= 4 x

，
整理得：-x²+（5-m）x-4=0，
∵直線與雙曲線有且只有一個交點，
∴△=（5-m）²-4×（-1）×（-4）=0，
∴m=1或9，
∵x＞0，
∴m=1，
即當(dāng)m=1時，直線與雙曲線有且只有一個交點．

點評：本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，平移的性質(zhì)，根的判別式，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力，題目比較好，難度適中．