Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=45°，AB=4

2

，AD=7，BC=14．動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿B-C方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿C-D-A以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作MEBC，與折線B-A-D相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），由點(diǎn)B、M、E、F組成的四邊形的面積為S．
（1）求線段CD的長(zhǎng)；
（2）是否存在合適的t，使得△EFM是等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；
（3）直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）如圖1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，由勾股定理就可以求出AE，DF的值，進(jìn)而求出CD的值；
（2）如圖3，如圖4，根據(jù)（1）的結(jié)論求出tan∠B=

AE

BE

=1，sin∠C=

DF

CD

=

4

5

，cos∠C=

3

5

再由等腰三角形的分類(lèi)討論就可以求出t的值；
（3）如圖5，6，7，8，分4中情況，0＜t≤2時(shí)，2＜t≤2.5，2.5＜t≤4，4＜t≤5.5時(shí)，由三角形的面積公式和梯形的面積公式就可以表示出S與t的關(guān)系式．

解答：解：（1）如圖1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴∠AEB=∠AEF=∠DFC=∠DFE=90°．
∵∠ABC=45°，
∴∠BAE=45°，
∴∠ABC=∠BAE，
∴AE=BE．
在Rt△ABE中，AB=4

2

，由勾股定理，得
BE=AE=4．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°．
∴∠AEF=∠EAD=∠DFE=90°，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴AD=EF，AE=DF，
∴DF=4．
∵AD=7，
∴EF=7．
∵BC=14，
∴CF=14-7-4=3
在Rt△DFC中勾股定理，得
CD=5；
答：CD的長(zhǎng)為5；
（2）∵∠AEB=∠DFC=90°，
∴tan∠B=

AE

BE

=1，sin∠C=

DF

CD

=

4

5

，cos∠C=

3

5

．
如圖2，當(dāng)MF=EF時(shí)，作FH⊥EM于H，F(xiàn)G⊥BC于G，
∴∠FHE=∠FGE=90°，∠MEC=90，
∴四邊形HEGF是矩形，
∴HE=GF．
∵EH=

1

2

EM=

1

2

BE=t，GF=

8

5

t，
∴t=

8

5

t，
∴t=0（舍去）．
如圖3，當(dāng)MF=ME時(shí)，作AG⊥BC交BC于G，
∴AM=2t-4．
∵FD=2t-5，
∴MF=7-（2t-4）-（2t-5）=16-4t，
∴16-4t=4，
∴t=3；
如圖4，當(dāng)MF=ME時(shí)，作AG⊥BC交BC于G，
∴AM=2t-4．
∵AF=12-2t，
∴MF=AM-AF=2t-4-（12-2t）=4t-16，
∴4t-16=4，
∴t=5．
∴t=3或t=4時(shí)，△EFM是等腰三角形；
（3）如圖5，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，作FG⊥BC于G，
∴∠FGC=90°，
∴FG=

8

5

t．CG=

6

5

t．
∵BE=EM=2t，
∴EG=14-2t-

6

5

t=14-

16

5

t．
∴S=

2t×2t

2

+

2t(14- 16 5 t)

2

=2t²+14t-

16

5

t²=-

6

5

t²+14t；
如圖6，當(dāng)2＜t≤2.5時(shí)，作FG⊥BC于G，
S=

4×2t

2

+

4(14- 16 5 t)

2

=28-

12

5

t；
如圖7，當(dāng)2.5＜t≤4時(shí)，
S=

ME(MF+BE)

2

=

4(16-4t+2t)

2

=-4t+32；
如圖8，4＜t≤5.5時(shí)，
S═

ME(MF+BE)

2

=

4(4t-16+2t)

2

=12t-32．
∴S=

- 6 5 t2+14t(0＜t≤2) 28- 12 5 t(2＜t≤2.5) -4t+32(2.5＜t≤4) 12t-32(4＜t≤5.5)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，函數(shù)的解析式的運(yùn)用，解答時(shí)求函數(shù)的解析式靈活運(yùn)用三角形和梯形的面積公式是關(guān)鍵．