Question

已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．
（1）如圖①，當∠MAN點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關系：            ；

（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；

（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）

Answer 1

（1）AH=AB；（2）數(shù)量關系成立，證明見試題解析；（3）6．

試題分析：（1）由三角形全等可以證明AH=AB；
（2）延長CB至E，使BE=DN，證明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB；
（3）分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCE，設AH=x，則MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．
試題解析：（1）如圖①AH=AB．
（2）數(shù)量關系成立．如圖②，延長CB至E，使BE=DN．

∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM．∵AB、AH是△AEM和△ANM對應邊上的高，∴AB=AH．
（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．設AH=x，則MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN²=MC²+NC²，∴，
解得，（不符合題意，舍去）．∴AH=6．