【題目】根據(jù)要求回答問題
(1)如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
①當點D在AC上時,如圖1,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系?直接寫出你猜想的結論;
②將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α角(0°<α<90°),如圖2,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系?請說明理由.
(2)當△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時,使線段BD、CE在(1)中的位置關系仍然成立?不必說明理由.
甲:AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;
乙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;
丙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.
【答案】
(1)
解:①結論:BD=CE,BD⊥CE;
②結論:BD=CE,BD⊥CE…1分
理由如下:∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE…1分
在△ABD與△ACE中,
∵
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE
延長BD交AC于F,交CE于H.
在△ABF與△HCF中,
∵∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC
∴∠CHF=∠BAF=90°
∴BD⊥CE
(2)
解:結論:乙.AB:AC=AD:AE,∠BAC=∠DAE=90°
【解析】(1)①BD=CE,BD⊥CE.根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA;然后在△ABD和△CDF中,由三角形內角和定理可以求得∠CFD=90°,即BD⊥CF;
②BD=CE,BD⊥CE.根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA;作輔助線(延長BD交AC于F,交CE于H)BH構建對頂角∠ABF=∠HCF,再根據(jù)三角形內角和定理證得∠BHC=90°;(2)根據(jù)結論①、②的證明過程知,∠BAC=∠DFC(或∠FHC=90°)時,該結論成立了,所以本條件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合適.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,△ABC的位置如圖所示(每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形).
(1)將△ABC沿x軸方向向左平移6個單位,畫出平移后得到的△A1B1C1;
(2)將△ABC繞著點A順時針旋轉90°,畫出旋轉后得到的△AB2C2,并直接寫出點B2、C2的坐標.
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【題目】如圖,將腰長為4的等腰直角三角形放在直角坐標系中,順次連接各邊中點得到第1個三角形,再順次連接各邊中點得到第2個三角形……,如此操作下去,那么,第6個三角形的直角頂點坐標為( 。
A. (﹣,) B. (﹣,) C. (﹣,) D. (﹣,)
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,點E、F在對角線BD上,且BE=DF.求證:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)四邊形AECF是平行四邊形.
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【題目】下列運算中,結果正確的是( )
A.(﹣2y)3=﹣6y3
B.(﹣ab2)3=﹣ab6
C.(﹣a)3÷(﹣a2)=a
D.( )﹣1﹣22=2
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【題目】有一天李小虎同學用“幾何畫板”畫圖,他先畫了兩條平行線AB,CD,然后在平行線間畫了一點E,連接BE,DE后(如圖①),他用鼠標左鍵點住點E,拖動后,分別得到如圖②,③,④等圖形,這時他突然一想,∠B,∠D與∠BED之間的度數(shù)有沒有某種聯(lián)系呢?接著小虎同學通過利用“幾何畫板”的“度量角度”和“計算”功能,找到了這三個角之間的關系.
(1)你能探究出圖①到圖④各圖中的∠B,∠D與∠BED之間的關系嗎?
(2)請從圖②③④中,選一個說明它成立的理由.
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【題目】準備一張矩形紙片,按如圖操作:將△ABE沿BE翻折,使點A落在對角線BD上的M點,將△CDF沿DF翻折,使點C落在對角線BD上的N點.
(1)求證:四邊形BFDE是平行四邊形.
(2)若四邊形BFDE是菱形,BE =2,求菱形BFDE的面積.
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【題目】已知拋物線y=ax2﹣2ax+c與y軸交于C點,與x軸交于A、B兩點,點A的坐標是(﹣1,0),O是坐標原點,且|OC|=3|OA|
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)直接寫出直線BC的函數(shù)表達式;
(3)如圖1,D為y軸的負半軸上的一點,且OD=2,以OD為邊作正方形ODEF.將正方形ODEF以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動,在運動過程中,設正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s,運動的時間為t秒(0<t≤2).
求:①s與t之間的函數(shù)關系式;
②在運動過程中,s是否存在最大值?如果存在,直接寫出這個最大值;如果不存在,請說明理由.
(4)如圖2,點P(1,k)在直線BC上,點M在x軸上,點N在拋物線上,是否存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形?若存在,請直接寫出M點坐標;若不存在,請說明理由.
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