Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形AOBC的頂點C的坐標是（2，4），動點P從點A出發(fā)，沿線段AO向終點O運動，同時動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC向終點C運動．點P、Q的運動速度均為1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AO交AB于點E．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設△PEQ的面積為S，求S與t時間的函數(shù)關系，并指出自變量t的取值范圍；
（3）在動點P、Q運動的過程中，點H是矩形AOBC內(nèi)（包括邊界）一點，且以B、Q、E、H為頂點的四邊形是菱形，直接寫出t值和與其對應的點H的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題,平行線的性質(zhì),三角形的面積,菱形的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）依據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）有兩種情況：當0＜t＜2時，PF=4-2t，當2＜t≤4時，PF=2t-4，然后根據(jù)面積公式即可求得；
（3）依據(jù)菱形的鄰邊相等關系即可求得．

解答：解：（1）∵C（2，4），
∴A（0，4），B（2，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
∴

4=b 0=2k+b

，
解得

k=-2 b=4

∴直線AB的解析式為y=-2x+4．

（2）如圖2，過點Q作QF⊥y軸于F，
∵PE∥OB，
∴

PE

AP

=

OB

AO

=

1

2

∴有AP=BQ=t，PE=

1

2

t，AF=CQ=4-t，
當0＜t＜2時，PF=4-2t，
∴S=

1

2

PE•PF=

1

2

×

1

2

t（4-2t）=t-

1

2

t²，
即S=-

1

2

t²+t（0＜t＜2），
當2＜t≤4時，PF=2t-4，
∴S=

1

2

PE•PF=

1

2

×

1

2

t（2t-4）=

1

2

t²-t（2＜t≤4）．

（3）t₁=

20

13

，H₁（

10

13

，

12

13

），
t₂=20-8

5

，H₂（10-4

5

，4）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，平行線的性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)和三角形的面積公式的應用．