Question

如圖，矩形ABCO中，點C在x軸上，點A在y軸上，點B的坐標是（-12，16），矩形ABCO沿直線BD折疊，使得點A落在對角線OB上的點E處，折痕與OA、x軸分別交于點D、F．
（1）直接寫出線段BO的長；
（2）求直線BD解析式；
（3）若點N在直線BD上，在x軸上是否存在點M，使以M、N、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出一個滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據勾股定理即可求得；
（2）根據△OED∽△OAB，求得D點坐標，然后應用待定系數法即可求得；
（3）先根據相似求得E點的坐標，然后根據EM∥BD和直線BD的解析式為：y=-

1

2

x+10，設出解析式，把E點的坐標代入即可．

解答：解：（1）20；
（2）∵矩形ABCO中點B的坐標是（-12，16），
∴AB=12，OA=16，
設D（0，a）則OD=a，AD=ED=16-a，
在Rt△AOB與Rt△EOD中，∠AOB=∠EOD，∠OAB=∠OED=90°，
∴△OED∽△OAB，
∴

ED

AB

=

OD

OB

，即

16-a

12

=

a

20

，
解得：a=10，
∴D（0，10），
設直線DB的解析式y(tǒng)=kx+b經過B（-12，16），D（0，10），
∴有

16=-12k+b 10=b

，解得

k=- 1 2 b=10

，
∴直線BD的解析式為：y=-

1

2

x+10，


（3）如圖2，作EG⊥x軸于G，作EM∥BD交軸與M，MN∥ED交BF于N，
∴四邊形DEMN是平行四邊形，
∵EG⊥x軸，BC⊥x軸，
∴EG∥BC，
∴

EG

BC

=

OG

OC

=

OE

OB

，
∵OB=20，BE=12，BC=16，OC=12，
∴OE=8，
即

EG

16

=

OG

12

=

8

20

，
∴EG=6.4，OG=4.8，
∴E（-4.8，6.4），
∵直線BD的解析式為：y=-

1

2

x+10，
∴設直線EM的解析式為：y=-

1

2

x+b，
把E（-4.8，6.4）代入得6.4=-

1

2

×（-4.8）+b，
解得；b=4，
∴直線EM的解析式y(tǒng)=-

1

2

x+4，
令y=0，則-

1

2

x+4=0，解得x=8，
∴M（8，0）．

點評：本題考查了待定相似法求解析式，軸對稱的性質，三角形相似的判定及性質，兩條直線平行其斜率相等是解題中經常用到的依據．