Question

閱讀下面資料：
小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，對(duì)面積為a的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：分別延長(zhǎng)AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，順次連接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，記其面積為S₁，求S₁的值．
小明是這樣思考和解決這個(gè)問題的：如圖2，連接A₁C、B₁A、C₁B，因?yàn)锳₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，所以S △A1BC=S △B1CA=S △C1AB=S_△ABC=a，由此繼續(xù)推理，從而解決了這個(gè)問題．
（1）請(qǐng)直接寫出S₁=

 

；（用含字母a的式子表示）．
請(qǐng)參考小明同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：
（2）如圖3，對(duì)面積為a的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：分別延長(zhǎng)AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，順次連接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，記其面積為S₂，求S₂的值．
（3）如圖4，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP、BP、CP并延長(zhǎng)分別交邊BC、AC、AB于點(diǎn)D、E、F，則把△ABC分成六個(gè)小三角形，其中四個(gè)小三角形面積已在圖上標(biāo)明，設(shè)△APE的面積為y，△BPF的面積為x，①求△APE，△BPF，△APF面積之間的關(guān)系；②求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換

專題：

分析：（1）利用三角形同高等底面積相等，進(jìn)而求出即可；
（2）利用三角形同高不等底面積比為底邊長(zhǎng)的比，進(jìn)而求出即可；
（3）①利用三角形面積之間關(guān)系得出其邊長(zhǎng)比，進(jìn)而得出△APE，△BPF，△APF面積之間的關(guān)系；
②由

S△APB

S△BPD

=

AP

PD

=

x+84

40

，

S△APC

S△PCD

=

AP

PD

=

y+35

30

得出關(guān)于x，y的方程求出即可．

解答：解：（1）∵B₁C=BC，A₁B=AB，
∴S_△ABC=S△BCA1，S△BCA1=S△A1CB1，
∴S△A1B1C=2S_△ABC=2a，
同理可得出：S△A1AC1=S△CB1C1=2a，
∴S₁=2a+2a+2a+a=7a；
故答案為：7a；

（2）∵A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA
根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，
∴S_△A1BC=S_△B1CA=S_△C1AB=2S_△ABC=2a，
∴S△A1B1C=2S△A1BC=4a，
∴S△A1B1B=6S_△ABC=6a，
同理可得出：S△A1AC1=S△CB1C1=6a，
∴S₂=19a；

（3）①過點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G，
∵S_△BPC=

1

2

BP•CG=70；S_△PCE=

1

2

PE•CG=35，
∴

S△BPC

S△PCE

=

BP•CG

PE•CG

=

70

35

=2
∴

BP

EP

=2，即：BP=2EP
同理，

S△APB

S△APE

=

BP

PE

=2
∴S_△APB=2S_△APF=x，S_△APE=y，
∴x+84=2y，
即S_△APB+84=2S_△APE，2S_△APF+84=2S_△APE；
②∵

S△APB

S△BPD

=

AP

PD

=

x+84

40

，

S△APC

S△PCD

=

AP

PD

=

y+35

30

∴

x+84

40

=

y+35

30

，
又∵x+84=2y
∴

x=56 y=70

，
∵S_△BPF=56，S_△APE=70，
∴S_△ABC=40+30+35+84+56+70=315．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了面積及等積變換，利用三角形同高則面積比與底邊關(guān)系分別分析得出是解題關(guān)鍵．