Question

【題目】如圖，一拋物線經(jīng)過點A（﹣2，0），點B（0，4）和點C（4，0），該拋物線的頂點為D．

（1）求該拋物線的函數(shù)關系式及頂點D坐標．

（2）如圖，若P為線段CD上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，求四邊形PMAB的面積的最大值和此時點P的坐標．

（3）過拋物線頂點D，作DE⊥x軸于E點，F(xiàn)（m，0）是x軸上一動點，若以BF為直徑的圓與線段DE有公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣+x+4．D的坐標為（1，）．（2）點P的坐標為（，1）．（3）m的取值范圍為﹣3≤m≤．

【解析】

試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4），把（0，4）代入求得a=﹣，從而可求得拋物線的解析式，然后依據(jù)配方法可求得拋物線的頂點坐標；

（2）依據(jù)待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式為y═﹣x+6．設點P的坐標為（a，﹣a+6），則PM=﹣a+6，然后根據(jù)SPMAB=S△AOB+SPMOB可求得四邊形PMAB的面積與a的函數(shù)關系式，最后依據(jù)配方法可求得四邊形的最大面積以及點P的坐標；

（3）先依據(jù)勾股定理可求得BF2=m2+16，即r=，當如圖1所示；當圓G與DE相切時，GH=r=（1﹣）得到（1﹣）2=+4，可求得m=﹣3，

如圖2所示：點F在點E右側(cè)且該圓經(jīng)過點D時．由兩點間的距離公式可知DG2=r2=（）2+（）2可知+4=（﹣1）2+（）2，從而可解得m=，故此可求得m的取值范圍是﹣3≤m≤．

解：（1）由題意設y=a（x+2）（x﹣4），把（0，4）代入得：﹣8a=4，

解得：a=﹣．

∴該拋物線的解析式為y=﹣（x+2）（x﹣4）．

整理得：y=﹣+x+4．

∵y=﹣+x+4=﹣（x﹣1）2+，

∴頂點D的坐標為（1，）．

（2）設直線CD的函數(shù)關系式為y=kx+b，

∵把C（4，0），D（1，）代入得k=﹣，b=6，

∴直線CD的函數(shù)關系式為y=﹣x+6．

設點P的坐標為（a，﹣a+6），

∵SPMAB=S△AOB+SPMOB，

∴四邊形PMAB的面積=×2×4+×（﹣a+6+4）×a=﹣a2+5a+4=﹣（a﹣）2+．

∴當a=時，四邊形PMAB的面積最大，最大面積為．

∴點P的坐標為（，1）．

（3）∵點F的坐標為（m，0），點B的坐標為（0，4）

∴圓心G的坐標為（，2）．

在Rt△BOF中由勾股定理可知：BF2=OB2+OF2=16+m2=4r2．

①如圖1所示；當圓G與DE相切時．

∵DE與圓G相切，

∴r=1﹣．

r2=+4．

∴（1﹣）2=+4．

解得：m=﹣3．

②如圖2所示：點F在點E右側(cè)且該圓經(jīng)過點D時．

∵點D在圓G上，

∴DG2=（）2+（）2=r2．

∴+4=（﹣1）2+（）2．

解得：m=．

綜上所述，m的取值范圍為﹣3≤m≤．