Question

【題目】如圖，一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，4）和點(diǎn)C（4，0），該拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式及頂點(diǎn)D坐標(biāo)．

（2）如圖，若P為線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAB的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）過(guò)拋物線頂點(diǎn)D，作DE⊥x軸于E點(diǎn)，F(xiàn)（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以BF為直徑的圓與線段DE有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣+x+4．D的坐標(biāo)為（1，）．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，1）．（3）m的取值范圍為﹣3≤m≤．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4），把（0，4）代入求得a=﹣，從而可求得拋物線的解析式，然后依據(jù)配方法可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）依據(jù)待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式為y═﹣x+6．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣a+6），則PM=﹣a+6，然后根據(jù)SPMAB=S△AOB+SPMOB可求得四邊形PMAB的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，最后依據(jù)配方法可求得四邊形的最大面積以及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）先依據(jù)勾股定理可求得BF2=m2+16，即r=，當(dāng)如圖1所示；當(dāng)圓G與DE相切時(shí)，GH=r=（1﹣）得到（1﹣）2=+4，可求得m=﹣3，

如圖2所示：點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)且該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)．由兩點(diǎn)間的距離公式可知DG2=r2=（）2+（）2可知+4=（﹣1）2+（）2，從而可解得m=，故此可求得m的取值范圍是﹣3≤m≤．

解：（1）由題意設(shè)y=a（x+2）（x﹣4），把（0，4）代入得：﹣8a=4，

解得：a=﹣．

∴該拋物線的解析式為y=﹣（x+2）（x﹣4）．

整理得：y=﹣+x+4．

∵y=﹣+x+4=﹣（x﹣1）2+，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）．

（2）設(shè)直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，

∵把C（4，0），D（1，）代入得k=﹣，b=6，

∴直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+6．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣a+6），

∵SPMAB=S△AOB+SPMOB，

∴四邊形PMAB的面積=×2×4+×（﹣a+6+4）×a=﹣a2+5a+4=﹣（a﹣）2+．

∴當(dāng)a=時(shí)，四邊形PMAB的面積最大，最大面積為．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，1）．

（3）∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）

∴圓心G的坐標(biāo)為（，2）．

在Rt△BOF中由勾股定理可知：BF2=OB2+OF2=16+m2=4r2．

①如圖1所示；當(dāng)圓G與DE相切時(shí)．

∵DE與圓G相切，

∴r=1﹣．

r2=+4．

∴（1﹣）2=+4．

解得：m=﹣3．

②如圖2所示：點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)且該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)．

∵點(diǎn)D在圓G上，

∴DG2=（）2+（）2=r2．

∴+4=（﹣1）2+（）2．

解得：m=．

綜上所述，m的取值范圍為﹣3≤m≤．