Question

【題目】在正方形網(wǎng)格中以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓A交網(wǎng)格于點(diǎn)C（如圖（1）），過(guò)點(diǎn)C作圓的切線交網(wǎng)格于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作圓交網(wǎng)格于點(diǎn)E（如圖（2））．

問(wèn)題：

（1）求∠ABC的度數(shù)；

（2）求證：△AEB≌△ADC；

（3）△AEB可以看作是由△ADC經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的？并判斷△AED的形狀（不用說(shuō)明理由）．

（4）如圖（3），已知直線a，b，c，且a∥b，b∥c，在圖中用直尺、三角板、圓規(guī)畫(huà)等邊三角形A′B′C′使三個(gè)頂點(diǎn)A′，B′，C′，分別在直線a，b，c上．要求寫(xiě)出簡(jiǎn)要的畫(huà)圖過(guò)程，不需要說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠ABC=60°；

（2）證明見(jiàn)解析；

（3）△AEB可以看作是由△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的，△AED是等邊三角形；

（4）作圖及畫(huà)圖過(guò)程見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（1）連接BC，通過(guò)證明△ABC是等邊三角形，即可求出∠ABC的度數(shù)；
（2）在Rt△AEB與Rt△ADC中，通過(guò)HL證明△AEB≌△ADC；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出△AED是等邊三角形；
（4）利用HL定理可證△A′N(xiāo)′C′≌△A′M′B′，得∠C′A′N(xiāo)′=∠B′A′M′，于是∠B′A′C′=∠M′A′N(xiāo)′=60°，由A′B′=A′C′得△A′B′C′為等邊三角形．

試題解析：

（1）連接BC，如圖所示：

由網(wǎng)格可知點(diǎn)C在AB的中垂線上，
∴AC=BC，
∵AB=AC，∴AB=BC=AC，即△ABC是等邊三角形．
∴∠ABC=60°；

（2）如圖所示：

∵CD切⊙A于點(diǎn)C，
∴∠ACD=90°∠ABE=∠ACD=90°，
在Rt△AEB與Rt△ADC中，
∵AB=AC，AE=AD．
∴Rt△AEB≌Rt△ADC（HL）；
（3）△AEB可以看作是由△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的．△AED是等邊三角形；
（4）①在直線a上任取一點(diǎn)，記為點(diǎn)A′，作A′M′⊥b，垂足為點(diǎn)M′；②作線段A′M′的垂直平分線，此直線記為直線d；③以點(diǎn)A′為圓心，A′M′長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與直線d交于點(diǎn)N′；④過(guò)點(diǎn)N′作N′C′⊥A′N(xiāo)′交直線c于點(diǎn)C′，連接A′C′；⑤以點(diǎn)A′為圓心，A′C′長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，此圓交直線b于點(diǎn)B′；⑥連接A′B′、B′C′，則△A′B′C′為所求等邊三角形．